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标题: 2018年数学分析考点归纳与典型题（含考研真题）详解 [打印本页]

作者: ooo 时间: 17-8-13 16:37
标题: 2018年数学分析考点归纳与典型题（含考研真题）详解
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内容简介
目录
第1章　极限与连续
　1.1　考点归纳
　1.2　典型题（含考研真题）详解
第2章　导数与微分
　2.1　考点归纳
　2.2　典型题（含考研真题）详解
第3章　完备性定理
　3.1　考点归纳
　3.2　典型题（含考研真题）详解
第4章　级　数
　4.1　考点归纳
　4.2　典型题（含考研真题）详解
第5章　多元函数
　5.1　考点归纳
　5.2　典型题（含考研真题）详解
第6章　隐函数
　6.1　考点归纳
　6.2　典型题（含考研真题）详解
第7章　积　分
　7.1　考点归纳
　7.2　典型题（含考研真题）详解
第8章　应用与计算
　8.1　考点归纳
　8.2　典型题（含考研真题）详解
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内容预览
第1章　极限与连续
1.1　考点归纳
一、数列极限
1．定义
设{an}是一个数列，

，对?ε＞0，?正整数N，当

时，有

，则称{an}收敛于a，则a称为数列

的极限，记作

．
（1）无穷小数列：

；
（2）无穷大数列：

；
（3）发散数列：若

极限不存在，则称

为发散数列；
（4）

收敛?

的任何子列都收敛．
2．性质
（1）唯一性
收敛数列{an}只有一个极限．
（2）有界性
若{an}收敛，则?正数M，对?n∈N*有

．
（3）保号性
若

（或＜0）则对

或（

），?正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．
（4）保不等式性
收敛数列{an}与{bn}．若?正数N0，当n＞N0时有an≤bn，则

（5）夹逼性
设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：?正数N0，当n＞N0时有

则{cn}收敛，且

3．四则运算
{an}，{bn}都收敛，则
（1）

；
（2）

；
（3）

；
（4）

（bn≠0及

）．
4．单调有界定理
单调且有界的数列一定存在极限．
5．柯西收敛准则
{an}收敛?对?ε＞0，?正整数N，当n，m＞N时有

二、函数
1．函数三要素
定义域值域对应法则
2．性质
（1）有界性
若?正数M，对?x∈D有

则称f在D上有界．
（2）单调性
①单调递增对?x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；
②单调递减对?x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．
（3）奇偶性
D关于原点对称
①奇函数 f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；
②偶函数 f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．
（4）周期性
若?T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．
3．分类
（1）复合函数
形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．
（2）反函数
设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射

，称此映射

为函数f的反函数．
注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．
三、函数极限
1．概念
（1）函数f在点x0的极限
f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对?ε＞0，若?正数δ（＜δ'），当0＜|x－x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作

（2）函数f在x趋于∞时的极限
f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对?ε＞0，若?正数N（≥a），使得当x＞N时有

则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作

（3）左极限
f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对?给定的ε＞0，总?δ＞0，当

时，有

则称A为f在点x0的左极限，记为

（4）右极限
f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对?给定的ε＞0，总?δ＞0，当

时，有

就称A为f在点x0的右极限，记为

（5）

．
2．性质
（1）唯一性；
（2）有界性；
（3）保号性；
（4）保不等式性；
（5）夹逼性．
注：函数极限性质同数列极限性质类似．
3．归结原则
f定义在

上，

存在?对任何含于

且以x0为极限的数列

，

都存在且相等．
4．单调有界定理
f为定义在

上的单调有界函数，则右极限

存在．
5．柯西准则
f定义在

上，

存在??ε＞0，?正数

，使得对

，有

6．两个重要极限

7．无穷小量与无穷大量
（1）无穷小
①

时的无穷小，得

；
②

时的无穷小，得

．
（2）无穷小的性质
若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．
（3）无穷大
f（x）定义在U0（x0）上．对?给定的正数M，总?正数

（或正数X），只要

（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当

或（

）时的无穷大．
8．相关无穷小的定义
（1）高、低阶无穷小
若

，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作

（2）同阶无穷小
f和g定义U0（x0）上，若?正数K和L，满足

则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．
（3）等价无穷小
若

，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作

注：常用的等价无穷小

9．渐近线
设曲线y＝f（x）
（1）斜渐近线y＝kx＋b

（2）垂直渐近线
若

（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为

．
（3）水平渐近线
若

（或者

），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．
四、函数的连续性
1．概念
（1）连续的定义
f（x）定义在U（x0）上，若

则f在点x0连续．
2．性质
（1）有界性；
（2）保号性；
（3）四则运算．
3．间断点
（1）定义
函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限

及右极限

都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．
（2）类型
①第一类间断点
a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．
b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．
②第二类间断点
a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．
b．振荡间断点在间断点处函数值在一个区间变化．
4．定理
（1）最值定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．
（2）有界性定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．
（3）介值性定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．
（4）根的存在定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得

．
5．一致连续
（1）定义
f定义在区间I上，如果对于?给定的正数ε，总?正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当

时，有

则称f在I上一致连续．
（2）一致连续与连续的关系
如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．
（3）一致连续性定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．

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