《名人命题》之欧拉的砝码问题

《名人命题》之欧拉的砝码问题

（转自我爱数学网站）


Read Euler, read Euler, he is the master of us all.    P.-S.de Laplace

    欧拉是举世闻名的数学家、物理学家和天文学家，正是他首次提出用π表示圆周率。他研究的范围几乎涉及当时所有的数学领域：微积分学、微分方程、解析几何等等。

    一次，一位商人向欧拉提出了一个有趣的问题：如果只允许砝码放在天平的一端，要能称出1～63克任何整数克重的物品，至少要用多少个砝码？而如果允许砝码放在天平的两端（放在两端相当于可以做加减法，而放在一端则只能做加法），要称出1～121克之间任何整数克重的物品，至少需要多少个砝码呢？

解答：

  砝码只能放在一端,至少需要6个砝码，分别为：1克、2克、4克、8克、16克和32克；在这种情况下：

   1=1；2=2；3=1+2；4=4；5=4+1；6=2+4；7=1+2+4；8=8；...；63=1+2+4+8+16+32

   总之，从1—63中的所有自然数，都可以用1、2、4、8、16和32，适当选择这6个数的一些数，通过加法而得到。

  砝码可以放在两端，则至少需要5个砝码：1克、3克、9克、27克和81克。在这种情况下：

   1=1；2=3-1；3=3；4=1+3；5=9-3-1；6=9-3；7=9-3+1；8=9-1；9=9；10=9+1；11=9+3-1；...；121=1+3+9+27+81；

   总之，从1—121中的所有自然数，都可以用1、3、9、27和81，适当选择这5个数的一些数，通过加减法而得到。

  小朋友们可以自己选几个数试一试。至于它的原理，要到学过进位制以后才能知道。

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