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标题: 关于幂级数的一个小问题 [打印本页]

作者: beyondyuefei 时间: 07-11-14 11:46
标题: 关于幂级数的一个小问题
幂级数: "求和符号" n=1到无穷大 x^n / n. 求收敛域及其和函数.

收敛域为 [-1,1) . 设和函数S(x) , 在它的收敛区间 (-1,1) 内先进行逐项积分,

求得 S ' (x) = 1/(1-x) ,  x属于(-1,1).  接下来我就直接两边积分得 S(x) = -ln(1-x)  ,x属于(-1,1). 但是答案不是这么做的,

答案说: 因为 S(0) = 0, 所以 S(x) = -ln(1-x) (中间省略了变上限的积分过程) ,  注意原级数在 x= -1 处收敛, 又 ln(1-x) 在 x= -1 处连续,所以 S(x) = -ln(1-x), x属于[-1,1).

我的问题:  1. 求 S(x)的时候我是直接两边同时积分, 为什么还需要说明 S(0) = 0  ?

               2.  "注意原级数在 x= -1 处收敛, 又 ln(1-x) 在 x= -1 处连续. "  这句话什么意思?  为什么和函数的收敛域变为 [-1 ,1)了, 原来只能保证 (-1,1)

作者: twinkleforever 时间: 07-11-14 18:54
问题1.答案之所以要说明S(0)=0,主要是为了提醒两边同时积分的时候,别漏了S(0)的存在,并计算S(0)的值.
问题2.分项积分以后,新级数的收敛域的两边的点有可能变\"好\",故必须重新讨论一遍

作者: djjkmoo 时间: 07-11-14 20:42
问题1:和函数逐项求导后得出s\'(x)=1/(1-x),然后为求出s(x),需要对上式两边积分，1/(1-x)积分后得到的是-ln(1-x)+c，s(0)=0是初试条件，可以确定常数c=0,从而s(x)=-ln(1-x)
问题2：首先要明白收敛半径，收敛区间，收敛域的含义。如果收敛半径是R，那么(-R,R)叫做收敛区间，而收敛区间(-R,R)及其端点-R,R处的收敛点共同构成收敛域。所以在求收敛域时，除了求出收敛区间外，还要验证区间端点处的收敛性。其次要知道以下2个结论：1，和函数逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变。2，和函数在其收敛域上连续。

作者: djjkmoo 时间: 07-11-14 20:49
另外还有：
1：若和函数在x=R处收敛，则逐项求导后的级数在x=R处可能发散
2：若和函数在x=R处发散，则逐项求导后的级数在x=R处一定发散，逐项积分后的级数在x=R处可能收敛
以上在二李的书上“幂级数的运算与和函数的性质”那一章里都有详细介绍,楼主在仔细看一下书

作者: qingqingyunyun 时间: 07-11-14 23:24
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作者: beyondyuefei 时间: 07-11-15 12:27
标题: 回复 #4 djjkmoo 的帖子
那为什么只要保证原级数在 x=R处收敛,且逐项求导后的级数在 x=R处连续, 即可得出逐项求导后的级数在 x=R处也收敛呢?

作者: djjkmoo 时间: 07-11-17 23:34
回5楼，积分后也不确定吧
另外，我突然感觉好像问题1我理解的有点问题，逐项积分是0到x的变上限积分，给定一个x值，就变成定积分了，应该没有常数C。大家怎么看？

作者: bestlove 时间: 07-11-22 21:29
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作者: chengguo16 时间: 07-11-22 22:06
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作者: chengguo16 时间: 07-11-22 22:09
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