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标题: 跪谢！！！对称矩阵的特征向量的问题？？？ [打印本页]

作者: deseik 时间: 09-7-24 20:40
标题: 跪谢！！！对称矩阵的特征向量的问题？？？
对称矩阵A的r重特征值,自然可以找到r个线性无关的特征向量。为了把这个对阵矩阵A对角化，需要把这r个特征向量利用施密特正交化方法，来正交。然后单位化，之后，得到了新的r个线性无关的特征向量。我不明白的是，原先r个特征值对应的这r个特征向量，经过了施密特正交化，单位化后，早已是“面目全非”。可为什么他们仍然是原来的矩阵A的特征向量？在这个地方，我有些不明白，请高手指点一二。我不胜感激，跪谢！！！！！！！！！！！！

作者: 5月的阳光 时间: 09-7-24 21:01
我想数学专业的人能解释这个问题，楼主其实不必去管它，只要记着这个推论，会做题，知道什么条件下用旧可以了，以后学这个专业可以去证明

作者: deseik 时间: 09-7-25 10:49
你求得的这R个特征向量组成一个空间解系。在这个空间解系中的任意一个向量均是方程的解。而施密特正交换，只是把这个空间的坐标变化了一下，使得由你求的的这R个向量代表的基，转化为由正交的基表示。就如直接坐标转换成极坐标一样，实质是不变的。所以仍然是方程的解向量。

假设 c 是对称实方矩阵 A 的 r 重特征值，则有 r 个线性无关的特征向量 x(1), ..., x(r) 是属于特征值 c 的。也就是说，

A x(1) = c x(1), ..., A x(r) = c x(r)

现在我们用 W 表示由向量 x(1), ..., x(r) 生成的子空间，则 W 是 r 维的。W 中任意向量 x 可以表示为 x = d(1) x(1) + ... + d(r) x(r)，其中 d(1), ..., d(r)为实数。则

A x = A (d(1) x(1) + ... + d(r) x(r))
= d(1) A x(1) + ... + d(r) A x(r)
= c (d(1) x(1) + ... + d(r) x(r))
= c x.

这就是说，W 中任意一个非零向量都是 A 的属于特征值 c 的特征向量。

因为向量 x(1), ..., x(r) 属于 W，所以将它们正交化和归一化后，得到的向量 y(1), ..., y(r) 仍然属于 W。因此 y(1), ..., y(r) 仍然是 A 的属于特征值 c 的特征向量。

注：实际上 W 有个名称叫属于特征值 c 的特征子空间。它是线性方程组 (cI-A)x=0的解空间，由此显然可见 W 中每个向量都是属于同一特征值 c 的特征向量。而正交化和归一化，都不会超出同一子空间的范围，所以不会造成所谓的“面目全非”。

作者: 舞者 时间: 09-7-25 11:18
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作者: kangxidai 时间: 09-7-25 16:06
呵呵，是面目全非了，但有些东西是骨子里的，不会随着整容的变化而变化的
按照定义验证一下就可以了

作者: lushan198153 时间: 09-8-8 20:41
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作者: moricangyu 时间: 09-8-9 09:44
同意三楼，简单的说，你说的r个特征值其实是1个特征值，其对应的特征向量有无穷多个（可组成线性空间），即方程组Ax=λx的解，其中要想找到线性无关的一组基，是有无数种可能的，施密特正交化只是在其中两种之间的一种线性变换而已，他们都是符合题意的特征向量。

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