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标题: 线性代数一个令我烦恼的问题（栽到里面了） [打印本页]

作者: wjdtc 时间: 09-10-5 00:30
标题: 线性代数一个令我烦恼的问题（栽到里面了）
关于相似对角化，对于特征方程的m重特征根a，k= a时, （ KE-A）X=0 最多有m个自由解，怎么证明啊，一时间栽到里面去了。
A的特征值和KE-A的特征值是否存在一定的关系呢？
昨天一个下午栽到里面2个小时，证明出来又是错的，弄了好几遍，崩溃了，谁能帮我解答一下，当局者迷，旁观者清，以前有问题想不通，问老师，老师一句话就解决了！

作者: 5月的阳光 时间: 09-10-5 01:31
a=K为M重，则特征向量也就是（(KE-A)X=0 的解）小于等于M
如果可对角化，那么应该对应M重
如果不可对角化，小于M
所以是小于等于M

作者: dajibali 时间: 09-10-5 02:45
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作者: 沙漠狂鹰 时间: 09-10-5 08:04
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作者: almghty 时间: 09-10-5 08:06
第一种情况 A如果能对角化，那么 A相似于对角矩阵， EK-A 相似于  EK-A的特征值
假设 A为3阶  对角化  为 1  a  a    那么EK-A的特征值  就等于 a-1 0 0 (对角化形式）由例子知道 A有2重，
那么  EK-A 相似 EK-A的特征值那么  (EK-A)X=0  等价于 (EK-A的特征值）X=0
   由方程我们知道方程解得自由变量个数  等于  N阶- R(A)
A的特征值有m个a,被EK减去后，方程系数就有m个0行方程吧，即自由变量个数为m

   第二种情况  A如果不能对角化，那么意味着 m个重根没有对应的 m个线性无关的自由变量，就是说线性相关的个数多了，变成方程的意义就是多了一组或者几组方程，所以 N- R(A) 小于m，方程的0行少于m个了

所以以上两点说明，自由变量个数，在能对角化的时候最大取得m个，问题关键在于  EK-A相似于EK-A的特征值

其实AB=0，AX=0 的性质也能解释。  课本其实解释得还算清楚，也许各位楼上的课本只看了一遍吧，建议课本多看几遍，课后题至少两遍

作者: wjdtc 时间: 09-10-5 17:55

原帖由 dajibali 于 2009-10-5 02:45 发表
哥们，你别想这个问题了，我都想了半年了还么想出来，线代就这个问题没解决了@@@
楼上的 a=K为M重，则特征向量也就是（(KE-A)X=0 的解）小于等于M====>WHY????

不想了，概率刚刚开始，最讨厌概率了

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