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标题: 问x1 + 2x2 + 3x3=0的非零解集一定与r1=r2=2对应的特征向量集合一一对应吗 [打印本页]

作者: 干滴滴 时间: 09-11-10 23:18
标题: 问x1 + 2x2 + 3x3=0的非零解集一定与r1=r2=2对应的特征向量集合一一对应吗
如果三阶对称阵A的三个特征值分别是r1=r2=2,r3=5,且r3对应的一个特征向量是（1，2，3）^T，由于
对称阵不同特征值对应的特征向量正交，所以r1=r2=2对应的特征向量肯定是与（1，2，3）^T正交的，
也就是r1=r2=2对应所有特征向量满足方程x1 + 2x2 + 3x3=0，但是由方程x1 + 2x2 + 3x3=0解出来的所有非零向量就一定是
r1=r2=2对应的特征向量吗？也就是问x1 + 2x2 + 3x3=0的非零解集一定与r1=r2=2对应的特征向量集合一一对应吗，不多不少吗？
我考虑了一下，感觉是一一对应的，是这样的吗？辅导书上解题的时候好像也是直接承认这个结论，没有任何解释，那帮编书的人太不负责啦！！！气死人啦

作者: 85137515 时间: 09-11-11 00:39
一定是的，因为不满足正交的一定不是互异特征值的特征向量。

作者: 干滴滴 时间: 09-11-11 00:44
标题: 回复 #2 85137515 的帖子
难道满足正交的向量就一定该特征值对应的特征向量吗？不会有多余的一部分不是吗？

作者: 85137515 时间: 09-11-11 12:05
由于实对称矩阵肯定能对角化，所以当他有2重特征值的时候肯定有对应的2个线性无关的特征向量，拿你这题来说，肯定有两个特征向量线性无关，其余的都能用这两个线性表示。

作者: 5月的阳光 时间: 09-11-11 20:35
可以的，只要满足方程的解就可以了，不过貌似也就2个解
n-R(A)=3-1=2
只能说表示的方式有很多种，不过都在K中了

作者: aq253 时间: 09-11-11 21:24
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作者: 干滴滴 时间: 09-11-11 22:34
标题: 回复 #4 85137515 的帖子
我也知道r1=r2=2对应的所有特征向量可以由两个线性无关的特征向量线性表示，但是也不能在方程x1 + 2x2 + 3x3=0的解中随便挑两个线性无关的解作为r1=r2=2的特征向量啊？？因为他们是不是r1=r2=2的特征向量都值得怀疑！！
实际上我也知道辅导书那样做应该是没有漏洞的，只是那帮人逻辑都没给我讲清楚，真是的，怎么不集体裸奔去啊？？？切！！

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