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标题: 设f（x）在（-∞，+∞）可导，x0不等于0，（x0,f（x0））是y=f（x）的拐点，则：（-x0 [打印本页]

作者: cicizuolo 时间: 12-7-31 18:56
标题: 设f（x）在（-∞，+∞）可导，x0不等于0，（x0,f（x0））是y=f（x）的拐点，则：（-x0
谢谢各位啦^^.

设f（x）在（-∞，+∞）可导，x0不等于0，（x0,f（x0））是y=f（x）的拐点，则：（-x0,-f(x0)）必是y= - f（-x）的拐点。

请大家帮忙解释解释吧。困惑ing...

作者: 396210614 时间: 12-8-1 08:06
本帖最后由 396210614 于 2012-8-1 08:09 编辑

关于拐点我也有很我疑惑，主要是教材或者全书都说得比较简单，拐点不能推出二阶可导，但是要证拐点却要求二阶可导的情况下讨论。你这题真的没有二阶可导的条件吗？

我试着理解了一下，如果真没有二阶可导的情况，只能从定义出发了（不知道有没有其他方法啊，我只想到这样了）
拐点的定义是：函数在一点处可导，在该点附近凸凹性发生变化。而凸凹性要求函数连续，你题中的可导已经保证了这些条件，只需要说明凸凹性发生变化。
设f(x)在点x0的某邻域内凸凹性变化，不妨设在左邻域是凹的，右邻域是凸的，由凸凹性定义，对左邻域内任意的x1<x2<x0，有1/2(f(x1)+f(x2))>f((x1+x2)/2)，对右邻域任意的x0<x3<x4，有1/2(f(x3)+f(x4))<f((x3+x4)/2)
令F(x)=-f(-x)，取-x0的长度与刚才相同的邻域（具有任意性），对其左邻域，有-x4<-x3<-x0，（显然-x4与-x3也是可以取遍邻域内所有的点，也有任意性）
则F((-x3-x4)/2))=-f((x3+x4)/2)，1/2(F(-x3)+F(-x4))=1/2(-f(x3)-f(x4))=-1/2(f(x3)+f(x4))，
从而得到F((-x3-x4)/2))<1/2(F(-x3)+F(-x4))，即F(x)在该邻域是凹的；
……下面我就不写了吧，这样很难写，再证另外一边是凸的，就证明了是拐点了。对于原函数左凸右凹就是一样的证明了。

说实在的拐点跟凹凸性很多地方都讲得很简单，不知道到底对这种定义上的东西，要理解到什么程度……

作者: cicizuolo 时间: 12-8-1 08:45

396210614 发表于 2012-8-1 08:06
关于拐点我也有很我疑惑，主要是教材或者全书都说得比较简单，拐点不能推出二阶可导，但是要证拐点却要求二 ...

谢谢你^^.

这是个选择题。最后红字部分是它的正确选项。解析是这样的：

（x0,f（x0））是拐点，但该点的二阶导数不一定存在。

拐点是函数的局部性质，（x0,f（x0））是y=f(x)的拐点，只能保证在x0的一个领域内，f(x)的凹凸性相反。

y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称，xo不等于0，则（-x0,f（-x0））是y=-f(-x)的拐点。

啊哈。。。我打完这段字。。。一下子明白了。。。呵呵。。。

作者: 396210614 时间: 12-8-1 09:48

cicizuolo 发表于 2012-8-1 08:45
谢谢你^^.

这是个选择题。最后红字部分是它的正确选项。解析是这样的：

嗯，如果只是选择题还好，只需要从函数图像就用对称性翻转一下就容易知道了。证明我不知道我上面的会不会有啥问题，咱也不是数学系的，对于这些太深入的东西就没啥太多研究了……

作者: cicizuolo 时间: 12-8-1 21:09

396210614 发表于 2012-8-1 09:48
嗯，如果只是选择题还好，只需要从函数图像就用对称性翻转一下就容易知道了。证明我不知道我上面的会不会 ...

我最烦证明题了。不过没办法，烦也得搞定它。。。[r:18]

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