同济大学数学系《高等数学》（第6版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/37830.html
目录                                                                                        封面
内容简介
目录
第8章　空间解析几何与向量代数
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　8.3　考研真题详解
第9章　多元函数微分法及其应用
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　考研真题详解
第10章　重积分
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　考研真题详解
第11章　曲线积分与曲面积分
　11.1　复习笔记
　11.2　课后习题详解
　11.3　考研真题详解
第12章　无穷级数
　12.1　复习笔记
　12.2　课后习题详解
　12.3　考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


　　同济大学数学系主编的《高等数学》（第6版）（上、下册）是我国高校理工科专业广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研数学公共课参考书目。
　　为了帮助参加研究生入学考试指定参考书目为同济大学数学系主编的《高等数学》（第6版）的考生复习专业课，我们根据该教材的教学大纲和众多名校考研真题精心编写了同济大学数学系《高等数学》（第6版）（上、下册）辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：
　　1．同济大学数学系《高等数学》（第6版）上册笔记和课后习题（含考研真题）详解
　　2．同济大学数学系《高等数学》（第6版）上册配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】
　　3．同济大学数学系《高等数学》（第6版）下册笔记和课后习题（含考研真题）详解
　　4．同济大学数学系《高等数学》（第6版）下册配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】
　　本书是同济大学数学系主编的《高等数学》（第6版）（上、下册）的配套3D电子书，主要包括以下内容：
　　（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
　　（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对同济大学数学系主编的《高等数学》（第6版）（上、下册）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
　　（3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年来的相关考研真题，这些高校均以该教材作为考研参考书目。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
　　（4）免费更新内容，获取最新信息。本书定期会进行修订完善，补充最新的考研真题和答案。对于最新补充的考研真题和答案，均可以免费升级获得。
　　圣才考研网（www.100exam.com）提供全国各高校数学类专业考研考博辅导班【一对一辅导（面授/网授）、网授精讲班等】、3D电子书、3D题库（免费下载，免费升级）、全套资料（历年真题及答案、笔记讲义等）、数学类国内外经典教材名师讲堂、考研教辅图书等。本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为同济大学数学系主编的《高等数学》（第6版）的考生，也可供各大院校学习《高等数学》的师生参考。
　　与传统图书相比，本书具有以下五大特色：
1．720度立体旋转：好用好玩的全新学习体验　　圣才e书带给你超逼真的3D学习体验，720度立体场景，任意角度旋转，模拟纸质书真实翻页效果，让你学起来爱不释手！

2．免费下载：无须注册均可免费下载阅读本书　　在购买前，任何人均可以免费下载本书，满意后再购买。任何人均可无限制的复制下载圣才教育全部3万本3D电子书，既可以选择单本下载，也可以选择客户端批量下载。
3．免费升级：更新并完善内容，终身免费升级　　如购买本书，可终生使用。免费自动升级指我们一旦对该产品的内容有所修订、完善，系统立即自动提示您免费在线升级您的产品，您将自动获得最新版本的产品内容。真正做到了一次购买，终身使用。当您的电子书出现升级提示时，请选择立即升级。
4．功能强大：记录笔记、全文搜索等十大功能　　本书具有“记录笔记”、“全文检索”、“添加书签”、“查看缩略图”、“全屏看书”、“界面设置”等功能。
　　（1）e书阅读器——工具栏丰富实用【为考试教辅量身定做】

　　（2）便笺工具——做笔记、写反馈【圣才电子书独家推出】

5．多端并用：电脑手机平板等多平台同步使用　　本书一次购买，多端并用，可以在PC端（在线和下载）、手机（安卓和苹果）、平板（安卓和苹果）等多平台同步使用。同一本书，使用不同终端登录，可实现云同步，即更换不同设备所看的电子书页码是一样的。

　　特别说明：本书的部分内容参考了部分网络资料及相关资料。但由于特殊的原因，比如作者姓名或出处在转载之前已经丢失，或者未能及时与作者取得联系等，因而可能没有注明作者的姓名或出处。本书责任编辑为黄顺，如果原作者或出版人对本书有任何异议，请速来信与我们联系（1925044795@qq.com），我们定当聆听您的意见并遵旨酌办；如果有侵权行为请及时通知我们，我们会在第一时间为您处理！
　　圣才学习网（www.100xuexi.com）是一家为全国各类考试和专业课学习提供辅导方案【保过班、网授班、3D电子书、3D题库】的综合性学习型视频学习网站，拥有近100种考试（含418个考试科目）、194种经典教材（含英语、经济、管理、证券、金融等共16大类），合计近万小时的面授班、网授班课程。
　　如您在购买、使用中有任何疑问，请及时联系我们，我们将竭诚为您服务！
　　全国热线：400-900-8858（8:30～23:00），18001260133（8:30～23:00）
　　咨询QQ：4009008858（8:30-23:00）

　　详情访问：http://lg.100xuexi.com/（圣才学习网|理工类）
　　圣才学习网编辑部
                                                                                                                                    本书更多内容>>
                                                                                                                                                                                                                    使用说明                                                                                                   
                                                                                    

内容预览
第8章　空间解析几何与向量代数
8.1　复习笔记
在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。
一、向量及其线性运算
1．向量概念
（1）向量
客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记

。有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加箭头）来表示向量，例如a、r、v、F或

、

、

、

等等。
（2）向量的大小和方向
由于一切向量的共性是都有大小和方向，因此在数学上只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（简称向量），即只考虑向量的大小和方向。
由于只讨论自由向量，所以如果两个向量a和ｂ的大小相等，且方向相同，就认为向量a和ｂ是相等的，记作a＝ｂ。这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。
（3）向量的模
向量的大小叫做向量的模。向量

、a、

的模依次记作

、

、

。模等于1的向量叫做单位向量。模等于零的向量叫做零向量，记作0或

。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。
（4）向量的夹角
设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作

＝a，

＝b，规定不超过

的

AOB（设

＝

AOB，0≤

≤

）称为向量a与b的夹角（图8-1），记作（a，b）或（b，a），即（a，b）＝

。如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到

之间任意取值。

图8-1 非零向量a，b
如果（a，b）＝0或

，就称向量a与b平行，记作a//b。如果（a，b）＝

，就称向量a与b垂直，记作a

b。
注意，由于零向量与另一向量的夹角可以在0到

之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。
当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上。因此，两向量平行，又称两向量共线。
设有k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称为向量共面。
2．向量的线性运算
（1）向量加减法
①加减法则
a．三角形法则；
b．平行四边形法则。
（2）运算规律
向量的加法符合下列运算规律：
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量

（n≥3）相加可写成

。
设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记作-a。由此，我们规定两个向量b与a的差：

。
特别地，当b＝a有

。
由三角形两边之和大于第三边，有

及

，其中等号在a与b同向或反向时成立。
（3）向量与数的乘法
向量a与实数

的乘积记作

a，规定

a是一个向量，它的模

，它的方向为：当

＞0时与a相同；当

＜0时与a相反。当

＝0时，

＝0，即

a为零向量，这时它的方向可以是任意的。
向量与数的乘积符合下列运算规律：
①结合律：

（

a）＝

（

a）＝（


）a；
②分配律：

。
设

表示与非零向量a同方向的单位向量，那么

。
【定理】设向量a≠O，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数

，使b＝

a。
3．空间直角坐标系
（1）坐标轴
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系或[O，i，j，k]坐标系。
（2）坐标面
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个由y轴及z轴和由z轴及x轴所确定的坐标面，分别叫做yOz面及zOx面。
（3）卦限
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限。含有x轴、y轴与z轴正半轴的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在xOy面的上方，按逆时针方向确定。第五卦限至第八卦限，在xOy面的下方，第一卦限之下的为第五卦限，按逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示（图8-2）。
任给向量r，有对应点M，使

＝r，以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体RHMK-OPAQ，如图8-3所示，有

图8-2 三个坐标面将空间分为八个卦限

图8-3 以OM为对角线的长方体RHMK-OPAQ

，
设

上式称为向量的坐标分解式，xi，yj，zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量。
【定义】有序数x、y、z称为向量r（在坐标系Oxyz中）的坐标，记作r＝（x，y，z）；有序数x，y，z也称为点M（在坐标系Oxyz中）的坐标，记作M（x，y，z）。
向量r＝

称为点M关于原点O的向径。
4．利用坐标作向量的线性运算
设

，即

。
利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有
（1）加法

；
（2）减法

；
（3）数乘

。
5．向量的模、方向角、投影
（1）向量的模与两点间的距离公式
设向量r＝（x，y，z），作

＝r，则向量模的坐标表示式为：

。
设有点A（

）和点B（

），则点A与点B间的距离

就是向量

的模。即得A、B两点间的距离：

。
（2）方向角与方向余弦
非零向量r与三条坐标轴的夹角

称为向量r的方向角。从图8-4可见，设

＝r＝（x，y，z），由于x是X坐标轴上有向线段的值，MP

OP，故

，类似可知

，

。

图8-4 非零向量r的方向角
从而

＝

，

，

，

称为向量r的余弦。上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e，并由此可得

。
（3）向量在轴上的投影
一般的，设点O及单位向量e确定u轴（图8-5）。任给向量r，作

，再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点

（点

叫做点M在u轴上的投影），则向量

称为向量r在u轴上的分向量。设

＝

e，则数

称为向量r在u轴上的投影，记作

或

。

图8-5 向量在轴上的投影
由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质：
①

（即

），其中

为向量a与u轴的夹角；
②

（即

）；
③

（即

）。
二、数量积、向量积、混合积
1．两向量的数量积
设一物体在恒力F作用下沿直线从点

移动到点

，以s表示位移

。由物理学知道，力F所作的功为

，其中

为F与s的夹角。
从这个问题看出，有时要对两个向量a和b作这样的运算：运算的结果是一个数，它等于

以及它们的夹角

的余弦的乘积，叫做向量a与b的数量积，记作a

b，即

。
（1）由数量积的定义直接推出
①

，这是因为夹角

＝0，所以

；
②对于两个非零向量a、b，如果a

b＝0，那么

；反之，如果

，那么a

b＝0。
（2）数量积的运算规则
①交换律：

；
②分配律：

；
③结合律：

，

为数。
2．两向量的向量积
设向量c由两个向量a与b按下列方式定出：
c的模

，其中

为a、b间的夹角；
c的方向垂直于a与b所决定的平面（即c既垂直于a，又垂直于b），c的指向按右手规则从a转向b来确定（图8-6），那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作a×b，即

。

图8-6 a与b的向量积
（1）由向量积的定义直接推出
①

；
②对于两个非零向量a、b，如果a×b＝0，那么a∥b；反之，如果a∥b，那么a×b＝0。
（2）向量积的运算规律
①b×a＝-a×b；
②分配律：

；
③结合律：

，（

为数）。
（3）向量积的坐标表示式
设

，那么：

。
为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成

。
3．向量的混合积
设已知三个向量a、b和ｃ。如果先作两向量a和b的向量积a×b，把所得到的向量与第三个向量ｃ再作数量积（a×b）

c，这样得到的数量叫做三向量a、b、ｃ的混合积，记作[abc]。
（1）三向量的混合积的坐标表示式
设

，则

。
（2）向量的混合积的几何意义
向量的混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积。如果向量a、b、c组成右手系（即c的指向按右手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是正的；如果a、b、c组成左手系（即c的指向按左手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是负的。
事实上，设

＝a，

＝b，

＝c。按向量积的定义，向量积a

b＝f是一个向量，它的模在数值上等于以向量a和b为边所作平行四边形OADB的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当a、b、c组成右手系时，向量f与向量c朝着这平面的同侧（图8-7）；当a、b、c组成左手系时，向量f与向量c朝着这平面的异侧。

图8-7 向量a、b、c的混合积
所以，如设f与c的夹角为

，那么当a、b、c组成右手系时，

为锐角；当a、b、c组成左手系时，

为钝角。由于

，所以当a、b、c组成右手系时，[abc]为正；当a、b、c组成左手系时，[abc]为负。
因为以向量a、b、c为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB）的面积S在数值上等于

，它的高h等于向量c在向量f上的投影的绝对值，即

。
所以平行六面体的体积

。
三向量a、b、c共面的充分必要条件是它们的混合积[abc]＝0，即

。
三、曲面及其方程
1．曲面方程的概念
在空间解析几何中，任何曲面都可以看做点的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面S与三元方程F（x，y，z）＝0有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F（x，y，z）＝0；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F（x，y，z）＝0。
那么，方程F（x，y，z）＝0就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F（x，y，z）＝0的图形。
2．旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f（y，z）＝0，把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面（图8-8）。它的方程计算如下：
设

（O，

）为曲线C上的任一点，那么有

。
当曲线C绕z轴旋转时，点

绕z轴转到另一点M（x，y，z），这时z＝

保持不变，且点M到z轴的距离

；
将

＝z，

＝±

代入

式，就有

，这就是所求旋转曲面的方程。

图8-8 以z轴为轴的旋转曲面
3．柱面
一般的，定曲线C沿直线L平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。
依据上述定义我们知道，方程

＝2x表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线

＝2x，该柱面叫做抛物柱面（图8-9）。
又如，方程x－y＝0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy上的直线x－y＝0，所以它是过z轴的平面（图8-10）。

图8-9 抛物柱面

图8-10 过Z轴的平面
4．二次曲面
与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程F（x，y，z）＝0所表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。
下面就九种二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。
（1）椭圆锥形

；
（2）椭球面

；
（3）单叶双曲面

；
（4）双叶双曲面

（5）椭圆抛物线

；
（6）双曲抛物线

。
还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面，其方程格式分别为：

，依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。
四、空间曲线及其方程
1．空间曲线的一般方程
空间曲线可以看做两个曲面的交线。设F（x，y，z）＝0和G（x，y，z）＝0是两个曲面的方程，它们的交线为C（图8-11）。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组

。
反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组。因此，曲线C可以用方程组来表示，方程组叫做空间曲线C的一般方程。

图8-11 空间曲线
2．空间曲线的参数方程
空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：

。
当给定t＝

时，就得到C上的一个点（

），随着t的变动便可得曲线C上的全部点，上述方程组叫做空间曲线的参数方程。
3．空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为

现在来研究由方程消去变量z后所得的方程H（x，y）＝0。
由于方程H（x，y）＝0是由方程组消去z后所得的结果，因此当x、y和z满足方程组时，前两个数x、y必定满足方程H（x，y）＝0，这说明曲线C上的所有点都在由方程H（x，y）＝0所表示的曲面上。
方程H（x，y）＝0，表示一个母线平行于z轴的柱面。由上面的讨论可知，这柱面必定包含曲线C。以曲线C为准线、母线平行于z轴（即垂直于xOy面）的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影。因此，方程H（x，y）＝0所表示的柱面必定包含投影柱面，而方程

所表示的曲线必定包含空间曲线C在xOy面上的投影。
同理，消去方程组中的变量x或变量y，再分别和x＝0或y＝0联立，我们就可得到包含曲线C在yOz面或xOz面上的投影的曲线方程：

，或

。
五、平面及其方程
1．平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量。容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
设平面上一点

（

）和它的一个法线向量n＝（A，B，C）已知时，其平面方程表达式为

，此表达式也被称为平面的点法式方程。
2．平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x、y、z的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。
反过来，任一三元一次方程的图形总是一个平面。方程Ax＋By＋Cz＋D＝0，称为平面的一般方程，其中x、y、z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即n＝（A，B，C）。
（1）当D＝0时，平面的一般方程成为Ax＋By＋Cz＝0，它表示一个通过原点的平面；
（2）当A＝0时，平面的一般方程成为By＋Cz＋D＝0，法线向量n＝（0，B，C）垂直于x轴，方程表示一个平行于x轴的平面；
同样，方程Ax＋Cz＋D＝0和Ax＋By＋D＝0分别表示平行于y轴和z轴的平面。
（3）当A＝B＝0时，平面的一般方程成为Cz＋D＝0或z＝－

，法线向量n＝（0，0，C）同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于xOy面的平面。
同样，方程Ax＋D＝0和By＋D＝0分别表示一个平行于yOz面和xOz面的平面。
3．两平面的夹角
（1）概念
两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。
（2）计算公式
设平面

的法线向量依次为

和

，那么平面

的夹角

应是

或

两者中的锐角，因此

按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面

和平面

的夹角

可由

来确定。
（3）基本推论
①

互相垂直相当于

；
②

互相平行或重合相当于

。
六、空间直线及其方程
1．空间直线的一般方程
空间直线可以看作空间两个相交平面的交线，如果两个相交的平面

的方程分别为

和

，那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组

；
反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能同时在平面

上，所以它的坐标不满足方程组。因此，直线L可以用方程组来表示，方程组叫做空间直线的一般方程。
2．空间直线的对称式方程与参数方程
（1）直线的对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线L上一点

和它的一方向向量s＝（m，n，p）为已知时，直线L的位置就完全确定了。我们称方程组

，
为直线Ｌ的对称式方程或点向式方程。
（2）直线的参数方程
直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这条直线的一组方向数，而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦。
由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程。如设

那么

，
上述方程组就是直线的参数方程。
3．两直线的夹角
（1）概念
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
（2）计算公式
设直线L1和L2的方向向量依次为

，那么

的夹角

应是

两者中的锐角，因此cos

＝

按两向量的夹角的余弦公式，直线

和直线

的夹角

可由

来确定。
（3）基本推论
①两直线

互相垂直相当于

；
②两直线

互相平行或重合相当于

。
4．直线与平面的夹角
（1）概念
当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角

（0≤

＜

），称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为

。
（2）计算公式
设直线的方向向量为s＝（m，n，p），平面的法线向量为n＝（A，B，C），直线与平面的夹角为

，那么

，因此

。按两向量夹角余弦的坐标表示式，有

。
（3）直接推论
①直线与平面垂直等价于

；
②直线与平面平行或直线在平面上等价于Am＋Bn＋Cp＝0。

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/37830.html