关于分段函数不定积分的问题

为什麽如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点，则包含该点在内的区间不存在原函数？如果是第二类间断点呢，是否就存在原函数呢，如：，就是的第二间断点

我也想知道，怎么没人回答啊，但那个tanx是好象是可以积分的啊，love和苍雨来解释下啊

这个问题问得太大了，想了一天也没敢回答啊
哪知道 lx 竟然还带点名滴
本来以为苍雨会说说滴

我先试着说一说，大家一起来探讨
首先，通常初等函数不定积分中的原函数是在被积函数的连续区间上而言的，也就是说这时都没有考虑间断点，tanx的原函数就是在这样的区间上满足的，如果把间断点代入原函数就没意义了；
其次，被积函数是分段函数的不定积分，它的原函数如果存在，一定是连续函数，那么需要让原函数在各区间段的端点上连续，也就是需要通过调整任意常数来实现这一点，这个方法我在http://bbs.freekaoyan.com/viewth ... p;page=1#pid1147785说过了；
第三，其它情况下我觉得好象都是关于定积分或者瑕积分的问题了
不知道回答得是否全面，苍雨和石猴子的看法如何呢？[s:10]

原帖由 lovegsq 于 2007-5-24 21:33 发表
这个问题问得太大了，想了一天也没敢回答啊
哪知道 lx 竟然还带点名滴
本来以为苍雨会说说滴

让你失望了，这个地方我确实不是很透彻；

这次考研，我也是死在与这个概念相关的问题上。

抱歉，我无能为力了。

我一直弄不明白的就是：当f（x）在x＝a的去心左邻域可导时，

“f（x）在x＝a点的左导数”和“f\'（x）在x趋向于a的左极限”是不是同一个概念？

[ 本帖最后由 moricangyu 于 2007-5-24 10:08 PM 编辑 ]

原帖由 lovegsq 于 2007-5-24 09:54 PM 发表
我先试着说一说，大家一起来探讨
首先，通常初等函数不定积分中的原函数是在被积函数的连续区间上而言的，也就是说这时都没有考虑间断点，tanx的原函数就是在这样的区间上满足的，如果把间断点代入原函数就没意 ...

你上次给我讲的我懂了，可这次楼主的思维深度要比我深的多，提了一个如此巨牛的问题..............

原帖由 moricangyu 于 2007-5-24 10:07 PM 发表


我一直弄不明白的就是：当f（x）在x＝a的去心左邻域可导时，

“f（x）在x＝a点的左导数”和“f\'（x）在x趋向于a的左极限”是不是同一个概念？

左导数和导数的左极限始终不是同一概念。
我认为这两个值不一定相等，因为一般情况下说到的去心邻域实际上是一个可以趋于无穷小的区间。
而如果是在包括x=a的某一区间内除了x=a之外都可导，那么这两个值应该是相等，但是也绝对不是同一概念。

原帖由 stonemonkey 于 2007-5-24 22:13 发表

左导数和导数的左极限始终不是同一概念。
我认为这两个值不一定相等，因为一般情况下说到的去心邻域实际上是一个可以趋于无穷小的区间。
而如果是在包括x=a的某一区间内除了x=a之外都可导，那么这两个值应该 ...

其实我的问法可能有问题，我的本意是这两个值在什么情况下不相等（前提是两个值都存在）？

因为从概念应该很好判断：前者是一个一重极限，而后者是一个累次极限。

关于原函数和导函数的连续性问题，个人认为之间没有关系，也就是任一个都不能推出另一个。

因为原函数的定义是由导数来的，也就是如果一个函数f(x)的导函数是g(x)的话，那么f(x)就叫做g(x)的原函数。那么我们可以设想一下，有很多连续函数的导数并不连续或者在某点的导数不存在，如果根据这个导数定义一个函数g(x)，那么就可以得出f(x)和g(x)是原函数和导函数的关系，但是这个不连续导函数的原函数是连续的。
至于两类间断点的情况，是可以根据定义得出结论来的。因为我对这两个定义也记得不是很确切了，所以也就不好乱说了，呵呵。

另外：积分只是用来求原函数的一种方法，是计算式而不是定义式。所以不能通过积分式来得出充要条件的，得出来的至多也只能是充分条件而已。