关于恒等的一道题

tianliangzh · 发表于 11-1-12 20:13:29

g（x)为f(x)与f(t)的上限积分的乘积(0到x)，g(x)单调递减定义为R,证明g(x)=0

xjsh · 发表于 11-1-12 20:53:36

从那里弄的好题.
能举出满足条件的非平凡的例子吗.

xjsh · 发表于 11-1-12 21:10:10

(1)g(0)=0,

x>0,g(x)<=0.
(2)两边从0到x积分,右边是一东西的平方并大于或等于零,左边是一个变上限积并小于或等于零,
两边都为零,然后得结论.

hjhit · 发表于 11-1-12 21:14:26

设G(x)=1/2(Sf(x))^2>=0，则G'(x)=g(x)且G(0)=g(0)=0，又g(x)单调递减，故任意x>0,g(x)<=0,故G(x)单调递减且G(x)<=0,则G(x)=0,即：
Sf(x)=0,故g(x)=0(用Sf(x)表示f(t)从0到x的上限积分)

tianliangzh · 发表于 11-1-12 23:03:21

这是陕西师范的02年的题
如果是对两边积分，似乎不能得到一大堆的平方，因为原来的积分不能作为常数提到新积分的外面，我也这样想过，但放弃了

tianliangzh · 发表于 11-1-12 23:04:36

这样做挺好的，就是一时没有想出来，谢谢了！

xjsh · 发表于 11-1-13 08:23:14

右边的能积分来,原函数就是另一人给出的大G(x).

这里两人给出的证明,本质上是一样的.
比较而言用导数法比较好.用积分法不太直接.
其实题中本身已出现积分,并且都要用变上限积分的求导公式.

另外f(x)是否有连续性条件,这里证法需要这个f(x)有连续性条件.

xjsh · 发表于 11-1-13 08:27:10

对"f(x)与f(t)的上限积分的乘积(0到x)"再0到x积分,正好是设G(x)=1/2(Sf(x))^2>=0，

xjsh · 发表于 11-1-13 08:27:27

对"f(x)与f(t)的上限积分的乘积(0到x)"再0到x积分,正好是G(x)=1/2(Sf(x))^2>=0，

tianliangzh · 发表于 11-1-13 20:24:39

懂了，谢谢各位goodheartpeople

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