2015年考研数学二重积分备考要点

2015年考研数学二重积分备考要点

二重积分这部分主要考察两种题型，一种是二重积分的计算，包括直角坐标和极坐标.另外一种是二重积分交换积分次序，只要把二重积分的计算方法弄明白了，交换积分次序其实是二重积分计算的问题.本部分数二、三历年会考一个答题，有的时候，还会考察一个小题，数一的考答题的频率不是那么大，但是二重积分的计算是后面三重积分，曲线、曲面积分的一个重要过程，偶尔会涉及二重积分的应用会，例如求形心坐标等,所以要重点掌握.
现在就二重积分的计算方法总结如下：
一、常规手段
在直角坐标下计算二重积分的条件、方法.
若积分区域为型区域，将区域向轴投影，得，再对任一，作平行于轴的直线，交的边界于，得，则
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若积分区域为型区域，将区域向轴投影，得，再对任一，作平行于轴的直线，交的边界于，得，则
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我们把直角坐标系中确定积分限的方法形象地称为“投影找区间，穿刺找线段”.

二、技术性手段
                对称性
                极坐标变换
技术性手段      换序
                性质（比较定理、中值定理等）
                区域相加减（等）
1.对称性：分为普通对称性和轮转对称性.
（1）若积分域关于轴对称,则看被积函数关于的奇偶性:

（2）若积分域关于轴对称,则看被积函数关于的奇偶性：

（3）若积分区域关于原点对称，则看被积函数关于和的对称性（即，则关于为偶函数，，则关于为奇函数）：
   
（4）轮转对称性：
若关于对称, 则

【例1】计算，其中由曲线所围成.
【解析】分析：利用奇偶性
因为是关于的奇函数，关于轴对称，所以
原式=         
（利用了两次奇偶性，其中为在第一象限的部分）

2.极坐标变换:
        适用条件是i) 被积函数:ii)积分区域:圆或圆环.
        两条都满足最好，如果只满足一条，也可以先尝试用一下极坐标变换.
设，极坐标系下的积分顺序一般是先后.
【例2】设区域为,则=.
【解析】分析：满足第ii)条，利用极坐标变换
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3.换序：先根据积分限画出积分区域，再按另一次序确定积分限：“投影找区间，穿刺找线段”
【例3】交换积分次序，       .
【解析】原式=
4.性质：比较定理、估值定理、积分中值定理等.
【例4】设是定义在上的连续函数,,求极限.
【解析】交换积分次序得

      （应用罗必达法则）
         （，这里应用了积分中值定理）
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5.区域相加减
【例5】计算,其中是由,以及曲线 所围成.
【解析】此题可以直接按直角坐标来解,但我们这里用区域相加减的解法
  （是正方形区域，是半圆区域）

        （上用直角坐标计算，上按极坐标计算）

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