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请教高代题目,求牛人解决

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楼主
kaka5527627 发表于 11-1-10 18:40:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
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A是n阶复矩阵,A的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量,求证存在n维列向量a,使a,Aa,....A^(n-1)a线性无关
沙发
lxdyahoo 发表于 11-1-11 19:02:18 | 只看该作者
a指的是什么?  不太明白  题目没说清楚  是常数还是矩阵?  是实数还是复数  ?还是特征向量?
我感觉a是特征向量
看结论证明 感觉是数域P【X】n 。。。
板凳
 楼主| kaka5527627 发表于 11-1-11 19:33:49 | 只看该作者

回 1楼(lxdyahoo) 的帖子

是向量
地板
lxdyahoo 发表于 11-1-11 21:36:32 | 只看该作者
Aa=λa    最后就能得出P【X】n的一组基
P【X】n的一组基(对应特征值  高等代数题解精粹里面有相关前半部分的证明)线性无关即特征值线性无关  放到题目中就是n个特征值互异 充要条件得出结论
5#
chiechie 发表于 11-1-13 08:16:58 | 只看该作者
它的n个特征值对应的n个特征向量相加得到的向量即为所求,因为过渡矩阵为范得蒙行列式,n个特征值构成矩阵的不同元素,所以得到的n个向量还是线性无关的
6#
 楼主| kaka5527627 发表于 11-1-13 15:13:07 | 只看该作者

回 4楼(chiechie) 的帖子

有重根呢
7#
chiechie 发表于 11-1-13 15:45:09 | 只看该作者

回 5楼(kaka5527627) 的帖子

汗,我没看清楚,重根可以取对应的不变子空间的一个向量a,使a,Aa,A^2a,…A^ra=0.得到的矩阵的行列式也不为零
8#
lxdyahoo 发表于 11-1-16 23:58:13 | 只看该作者
高等代数题解精粹对此题应该有些作用吧  有时间看看吧楼主
9#
龙歌左#佐冢 发表于 11-11-27 20:03:43 | 只看该作者
反证不就可以了吗?假设对任意的a都线型相关,那么就可以得到一个零化多项式,次数最多为n-1,而它的最小多项式为它的特征多项式,矛盾!(这里是可以得出它的n个特征值互不相等的!)
10#
陶哲轩小弟 发表于 12-5-8 23:45:23 | 只看该作者
墓地是找A作用下的循环向量。
由题意可知A有n个互异的特征值,设其属于n个不同特征值的特征向量分别为x1,x2,……,xn。
令:
x=x1+x2+……+xn

还有另外一个方法,利用线性方程组,系数行列式恰为范德蒙行列式
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