“创新杯”全国数学邀请赛金牌辅导（初中一年级）

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2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试
2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级复试
2005年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试
2005年第三届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第二试
2004年第二届“创新杯”数学邀请赛初中一年级初试
2003年第一届“创新杯”全国数学邀请赛初中一年级第一试
2003年第一届“创新杯”全国数学邀请赛初中一年级第二试
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2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级第一试
2006年第四届“创新杯”数学邀请赛初中一年级复试
【解析】由可得：，，中有一个负数，或全为负数；当，，全为负数时，也为负数，与矛盾，故，，中只有1个是负数。
【评注】熟练掌握负数的一些运算法则。
【解析】由第一个图形可得：在第三个图形中，下面的数字是1；由第二个图形可得：2，3为1的邻边，即1的对面不是2和3；综上：第三个图形中，1的对面是数字是6。
【评注】要善于观察，从而找到突破口。
3．如图，，，，，则（　　 ）。
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【解析】五边形的内角和等于，即，故
。
【评注】变形的内角和等于。
4．个连续自然数按规律排成下表：
这样，从2003到2005，箭头的方向应为（　　 ）。
A．
B．
C．
D．
【解析】1，5，9，…，是以1为首项，4为公差的等差数列，记为等差数列1；
2，6，10，…，是以2为首项，4为公差的等差数列，记为等差数列2；
3，7，11，…，是以3为首项，4为公差的等差数列，记为等差数列3；
4，8，12，…，是以4为首项，4为公差的等差数列，记为等差数列4；
令2003属于第个数列（为1、2、3、4），则有（为正整数），即为正整数，故，即2003到2004的箭头方向为，2004到2005的箭头方向为，故D选项正确。
【评注】利用等差数列的性质得出结论。
5．甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，分别提供的信息如下图所示：可得到的正确判断是（　　 ）。
A．该县第2年养鸡场产鸡的数量为1.3万只
B．该县第2年养鸡场产鸡的数量低于第一年养鸡场产鸡的数量
C．该县这7年养鸡场产鸡的数量逐年增长
D．这7年中，第5年该县养鸡场产鸡的数量最多
对于B选项：该县第1年的产鸡数量为万只，第2年养鸡场产鸡的数量为第2年的养鸡场个数，由第2个图可以得到第2年的养鸡场个数大于38，即第2年养鸡场产鸡的数量大于万只，故该县第2年养鸡场产鸡的数量高于第一年养鸡场产鸡的数量；
对于C，D选项：
第1年的产鸡数量为46万只；
第2年养鸡场产鸡的数量为万只；
第3年的产鸡数量为万只；
第4年养鸡场产鸡的数量为万只；
第5年的产鸡数量为万只；
第6年的产鸡数量为万只；
第7年的产鸡数量为万只；
【评注】直接根据图形对选项逐一分析即可。
6．平面上六条直线两两相交，其中仅有3条直线经过同一点，则它们彼此截得不重叠段有（　　 ）条。
A．36
B．33
C．24
D．21
【解析】假设没有3条直线经过同一点，则每一条直线都被其他5条直线截成4段，此时共有条线段。而事实上，有3条直线经过同一点，那么就少了3条线段。所以它们彼此截得不重叠线段有条。
【评注】关键是考虑重叠的情形。
7．已知三个顶点的坐标分别为（3，3，），（1，1），（4，1），将向右平移4个单位，得，再把绕点逆时针旋转90°，得到，则点的坐标是（　　 ）。
A．（9，4）
B．（8，5）C．（5，2）
D．（4，9）
【解析】向右平移个单位，即相当于横坐标增加，纵坐标不变。
向右平移后，得到的的坐标为：（7，3，），（5，1），（8，1）；
在上找一点（，1），使得，故（，）⊥（2，2），即，故，即（9，1），，又因为，
由题意得：在直线上，故与重合，即（9，1）。
设的坐标是（，），，。
则有，即得：，故的坐标是（9，4）。
【评注】也可求出直线的方程，联合在直线上，，求出的坐标。
8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母～共16个计数符号．这些符号与十进制的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示：，则（　　 ）。
A．
B．
C．
D．
【解析】由图得：，，故，转化成十六进制的方法为110除以16，得6余14，14用十六进制表示为，故答案为6。
【评注】要熟知如何将十六进制的数转化为十进制的数。
9．设，均为质数，且，则，的乘积　　　　。
【解析】解法一：99以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
相加为99的两个数对只有（2，97），故它们的乘积为。
解法二：两个奇数相加的和为偶数，而99为奇数，故，为一奇一偶。
在所有质数中，除了2以外，都是奇数，故，中的偶数为2，即可得另一个数为97，故。
【评注】一般采用解法2，简捷明了．要特别注意2是最特别的一个质数，以后可能会经常用到。
10．定义运算：，则方程的解是　　　　。
【解析】，故，即。
【评注】类似这种定义一种新运算的题目都是直接代入定义式即可求解。
11．现有，两个班级，每个班级各有45名学生参加测试，每位参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这10种不同分值的一种，测试结果班如表，班如图所示．若两班合计共有60人合格，则合格的分数线是　　　　分。
【解析】共有90人参加，60人及格。
由于两个班级均有45名学生参加测试，故从图中可知：班没有人得0、7、8、9分。
获得9分的人数共有2人；
获得8分的人数共有3人，分数大于等于8的人数为5人；
获得7分的人数为4人，分数大于等于7的人数为9人；
获得6分的人数共有人，分数大于等于6的人数为18人；
获得5分的人数共有人，分数大于等于5的人数为36人；
获得4分的人数为人，分数大于等于4的人数为60人，故4分为及格线。
【评注】只要找到等于或高于某一分数的人数恰好为60人，则这个分数即为及格线。
12．如图，已知平分，，垂足为，
【解析】延长交于，由平行线性质得：。
由得：；
由平分，得：；
由三角形外角等于与它不相邻的两个角的和得：。
【评注】主要利用平行线的性质和三角形外角等于与它不相邻的两内角之和。
13．计算　　　　。
【解析】；
；
故原式。
【评注】熟知基本的四则运算法则。
14．某文具店只有8元一支和9元一支的两种规格的钢笔，甲、乙两人到该店购买钢笔，已知两人购买的支数相同，且一共花费了172元，则每人在该店购买了　　　　支钢笔。
【解析】设甲、乙一共购买8元一支的钢笔支，购买9元一支的钢笔支（其中，均为非负整数）。
由题意得：，该方程的整数解为或，因为两人购买的支数相同，故为偶数，则取这组解，即两人共买20支笔，每人买10支笔。
【评注】有时候一个方程两个未知数，再加上一些外在的限定条件，如整数解等，这样也可以得出方程的解。
15．一支蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行个单位长度后，向左爬行个单位长度；再向右爬行个单位长度后，向左爬行个单位长度．这样一直爬下去，最后向右爬行个单位长度后，向左爬行个单位长度，达到点，则表示的数是　　　　。
【解析】点的坐标为。
【评注】数轴上原点右边为正，左边为负，所以向右即为加，向左即为减。
16．假设，，，都是不等于0的数，对于四个数，，，，考察下述说法：
①这4个数全是正数；
②这4个数全是负数；
③这4个数中至少有一个为正数；
④这4个数中至少有一个为负数；
⑤这4个数的和必不为0。
其中正确的说法的序号是　　　　．（把你认为正确说法的序号都填上）
【解析】当，异号时，，排除①；
当，同号时，，排除②；
当，，，时，，排除⑤；
若，，，全为负数，则，异号（不妨令，）；，同号；，同号，故，，故，异号，但为负数，矛盾，故，，，中至少有一个正数，③正确；
若，，，全为正数，则，同号（不妨令，）；，异号；，异号，故，，故，同号，但为正数，矛盾，故，，，中至少有一个负数，④正确。
【评注】有时候直接不容易判断，可举出一个反例，只要能推翻结论，即说明它是错误的。
三、解答题（第17，18题各20分，第19题30分，共70分）
17．如图是德国1998年发行的纪念在柏林召开的国际数学家大会的邮票，它的图案是一个长方形，这个长方形被分割成大小各不相同的11个小正方形．如果这个分割图中所有的正方形的边长都是整数，那么这个长方形的周长最小是多少？
【解析】设最小，次小和中间的小正方形均的边长依次为，，（如图，正方形的边长均写在正方形内），则其它正方形的边长如图所示。
从而，最大正方形的边长为，化简得：．　　　①
又考虑长方形的宽，可得，化简得：．　②
由①，②得：。
由于，，都是正整数，则的最小值为9，从而和的最小值依次为16，21．此时，长方形的邻边长分别为：，。
因此，所求最小周长为。
【评注】要善于观察图形，利用数形结合即可解决问题。
18．如图，已知是一个长方形，其中顶点，的坐标分别为（0，）和（9，）．点在上，且，点在上，且，点在上，且使的面积为20，的面积为16，试求的值。
【解析】设的坐标为（0，），。
∵，
∴，解得。
同理，∵，
∴，化简得：。
将代入上式得：，解得。

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