曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第1章　波函数与Schr?dinger方程
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　1.3　名校考研真题详解
第2章　一维势场中的粒子
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　2.3　名校考研真题详解
第3章　力学量用算符表达
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　3.3　名校考研真题详解
第4章　力学量随时间的演化与对称性
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　4.3　名校考研真题详解
第5章　中心力场
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　电磁场中粒子的运动
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　量子力学的矩阵形式与表象变换
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
第8章　自　旋
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　8.3　名校考研真题详解
第9章　力学量本征值问题的代数解法
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　名校考研真题详解
第10章　微扰论
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
第11章　量子跃迁
　11.1　复习笔记
　11.2　课后习题详解
　11.3　名校考研真题详解
第12章　其他近似方法
　12.1　复习笔记
　12.2　课后习题详解
　12.3　名校考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


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内容预览
第1章　波函数与Schr?dinger方程
1.1　复习笔记
一、波函数的统计诠释
1．实物粒子的波动性
de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为

并称之为物质波（matter wave）．
2．波粒二象性的分析
（１）包括波动力学创始人Schr?dinger，de Broglie等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．
（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．
然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．
3．概率波，多粒子体系的波函数
把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Born（1926）提出的概率波．

表征在r点处的体积元

中找到粒子的概率．这就是Born提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．
根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件

这称为波函数的归一化（normalization）条件．
归一化条件就可以简单表示为
（ψ，ψ）=1
4．动量分布概率

动量分布概率密度即

．
5．不确定性原理与不确定度关系

不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Heisenberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．
6．力学量的平均值与算符的引进
令



称为动量算符．



l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为

一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出



是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则

与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为


7．统计诠释对波函数提出的要求
统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?
（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．
（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）

但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．
（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|2单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．
（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．
二、Schr?dinger方程
1.Schr?dinger方程的引进

在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schr?dinger波动方程，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律．
2.Schr?dinger方程的讨论
（１）定域的概率守恒
对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变．即



（1）
（1）式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同．
（2）初值问题，传播子
Schr?dinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系，取初始时刻为t‘，则t时刻波函数可以表示为



式中



称为传播子（propagator）．可以证明



就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅．
3．能量本征方程
以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）．

其中ψE（r）满足下列方程：

（2）
在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的．这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）．方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schr?dinger方程．
不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的（设E取离散值），即

Schr?dinger方程的更普遍的表示是


（3）

是体系的Hamilton算符．当

不显含t时，体系的能量是守恒量，方程（3）可以分离变量．此时，不含时Schr?dinger方程，即能量本征方程，为


4．定态与非定态
若在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态ψ（r，0）=ψE（r），则

（4）
形式如式（4）的波函数所描述的态，称为定态（stationary state）．处于定态下的
粒子具有如下特征：
（1）粒子在空间的概率密度ρ（r）=|ψ（r）|2以及概率流密度j显然不随时间改变
（2）任何（不显含t的）力学量的平均值不随时间改变．
（3）任何（不显含t的）力学量的测量概率分布也不随时间改变．
由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态，称为非定态（non stationary state）．
5．多粒子体系的Schr?dinger方程
设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为mi（i=1，2，3，…，N）．体系的波函数表示为ψ（r1 ，…，rN，t）．设第i个粒子受到的外势场为Ui（ri），粒子之间相互作用为V（r1 ，…，rN，t），则Schr?dinger方程表示为

其中

而不含时Schr?dinger方程表示为

E为多粒子体系的能量．
三、量子态叠加原理
1．量子态及其表象
当ψ（r）给定后，三维空间中一个粒子所有力学量的测值概率分布就确定了．从这个意义上来讲，ψ（r）完全描述了一个三维空间中粒子的量子态．所以波函数也称为态函数．
2．量子态叠加原理，测量与波函数坍缩
（1）设体系处于ψ描述的态下，测量力学量A所得结果是一个确切直a1（ψ1也称为A的本征态，A的本征值为a1）．又假设在ψ2态下，测量A得的结果是另一个确切值a2（ψ2也是A的一个本征态，本征值为a2）．则在

所描述的状态下，测量A所得结果，既可能为a1，也可能为a2（但不会是另外的值），而测得结果为a1或a2的相对概率是完全确定的．我们称ψ态是ψ1态和ψ2态的相干叠加态．
（2）按照von Neumann的看法，量子态坍缩（collapse）即在测量过程中，粒子的状态从叠加态坍缩成为某一能量本征态ψ．

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