求助：r(AB)>=r(A)+r(B)-n怎么证

audia6 · 发表于 08-7-25 10:36:04

怎么证明啊明天就要讲课了谢谢了

龙龙0414 · 发表于 08-7-25 11:48:22

这题还有其它条件吗？

龙龙0414 · 发表于 08-7-25 12:01:03

设Ax=0, b是方程组的解，则有Ab=0 ,r(A)+r(b)<=n, 可以推出 ra+rb-n<=0,r(Ab)=0，所以有
r(AB)>=r(A)+r(B)-n，应该有其它条件，这是我的想法，不一定对了

lykwinner · 发表于 08-7-25 12:01:15

估计楼主已经假设AB都是n阶方阵。
利用分块矩阵做很简单的。

lykwinner · 发表于 08-7-25 12:06:05

你给出的是AB=0时的特例

k0k0k0k0 · 发表于 08-7-25 12:06:48

3楼证明的前提条件是AB=0.

audia6 · 发表于 08-7-25 14:36:44

不一定是方阵的啊条件就是A是m*n B是 n*s
而且AB也不一定=0.

我也知道是用分块来证可一时想不起具体的方法啦

audia6 · 发表于 08-7-25 15:26:14

顶上去啊

bulk0001 · 发表于 08-7-25 15:59:58

真f了u了，这是矩阵秩的基本性质，你不会手上连线代书都没有一本吧？随便一本都要证明的，一般都是用的分块矩阵结合Laplace展开定理来证明。
简单的说呢，是对一个由A、B、In（n阶单位矩阵）构成的下三角矩阵（分块矩阵形式）——这个矩阵的秩是大于rA+rB的——通过一次行变换和列变换（不会改变原矩阵的秩），目的是消去A和B，由此原矩阵变成由-AB和In（n阶单位矩阵）组成的反对角矩阵，而（反）对角矩阵的秩就等于两个对角分块的秩的和（这个不需要解释吧，等价一下就知道了），这样就出现了上述结论，具体自己去试试吧！

[ 本帖最后由 bulk0001 于 2008-7-25 16:18 编辑 ]

yuzhaoyu · 发表于 08-7-25 16:10:31

原帖由 龙龙0414 于 2008-7-25 12:01 发表
设Ax=0, b是方程组的解，则有Ab=0 ,r(A)+r(b)

要限定条件你可以理解为基础解系的解向量的个数

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