对称和秩在矩阵特征值确定中的作用。

hanfuzhao · 发表于 08-10-24 19:36:59

对称和秩在矩阵特征值确定中的作用分别是什么呢？

题一：A是3阶实对称矩阵，r(A)=2,且A²=A，能确定A的特征值吗？
题二：A是3阶矩阵，r(A)=2,且A²=A，能确定A的特征值吗？

[ 本帖最后由 k0k0k0k0 于 2008-10-24 19:46 编辑 ]

hanfuzhao · 发表于 08-10-24 19:50:41

谢谢BZ帮忙编辑，搞了半天编辑公式没搞懂。

k0k0k0k0 · 发表于 08-10-24 19:52:08

A是3阶实对称矩阵，A可以相似对角化；A²=A，lamda²=lamda，特征值为1，0；r(A)=2，特征值确定为1，1，0。
如果A是一般3阶矩阵，A不一定可以相似对角化，则不能确定A的特征值。

hanfuzhao · 发表于 08-10-24 19:58:15

大家讨论呀，我觉得两个题目都能确定A的特征值是1、1、0。（特别针对本题）。

hanfuzhao · 发表于 08-10-24 20:51:08

以上不知道对不对。

k0k0k0k0 · 发表于 08-10-24 21:17:32

刚才考虑不周，A是一般3阶矩阵时，特征值也是1，1，0；
证明：(A-E)A=0，A的列向量是方程组(A-E)x=0的解，r(A)=2，A的列向量组的秩也是2，说明(A-E)x=0的解中有2个线性无关的解；而(A-E)x=0是特征值为1时的特征方程，特征值为1时有两个线性无关的特征向量，A可以相似对角化。所以A的特征值也是1，1，0。

xiedaxia · 发表于 08-10-25 11:02:54

3楼与6楼的解释非常正确，请楼主学习。

heyJim · 发表于 08-10-25 11:55:40

呵呵这好象是智宣老师的口吻

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对称和秩在矩阵特征值确定中的作用。

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