2010年清华大学信号与系统专业全基础过关自测试卷（一）

(一)就是下册书99页例8-23。给出差分方程如下：
    y(n)-y(n-1)+1/2y(n-2)=x(n-1)（也就是把书上的a1=1，a2=-1/2，b1=1）
　　求系统函数H(s)和单位样值响应h(n)，并画出h(n)的波形和|H|～ω图和
    实现该差分方程的最简单的方框图。
　　提示：最好按书上的方法做，不然很麻烦。

(二)给出信号流图和起始条件，要求H(s)和零输入解。代公式就行了。
    总共有三个状态变量λ1，λ2，λ3，其中只有λ1是可观可控的，λ2可观不可控，
    λ3可控不可观。所以其实在求H(s)时只要考虑λ1就行了。求H(s)可以用梅森公式
    我用的是式（12-4），就是H(s)=C(sI-A)^(-1)B+D。求零输入解用公式（12-46）。

(三)一个频率带限为-ωm～ωm的信号f(t)，频域为F(ω)，先让它时域乘cos(ωct)，得
    到X1(ω)，然后通过截止频率为ωc的理想高通(ωc≈3ωm)，得到X2(ω)，再时域
    乘cos[(ωc+ωm)t]，得到X3(ω)，再通过截止频率为ωm的低通，得到Y(ω)。画出
    各个信号频谱。并问要想恢复原来的信号f(t)，应该对y(t)怎么做，画方框图。
    就是画图，不要求推导过程，画图时要注意标出幅度和频率。这道题实际上就是所
    谓的“倒谱”，一种简单的加密方式。

(四)信号f(t)=cos(ωmt)，fT(t)=∑，T=π/2ωm，
    fC(t)=sgn，f1(t)=f(t)fT(t)，f2(t)=f(t)fC(t)，要求画出F1(ω)和
    F2(ω)的幅度特性图。并给出恢复为原信号的方法。
    注意：f1(t)就是用矩形脉冲抽样，上册书152页。此处ωs=2π/T=4ωm，带宽τ=T/2
    画频谱时注意幅度。又知fC(t)=2fT(t)-1，因此f2(t)=2f1(t)-f(t)，
    F2(ω)=2F1(ω)-F(ω)，故幅度特性也可以画出。
    至于恢复，第一个原则上要使用补偿低通，但鉴于本题的特点一般的低通也可以；
    第二个从原则上讲也要用补偿低通（或带通）才行，但本题的特点似乎一般的也可以
    ，但必须要进行频谱搬移－低通之后，才能恢复原信号。


(五)填空（部分）。
    1、理想低通H(jω)=2exp(-2jω)，
    信号为y(t)=sin(ω0t)+1/3sin(3ω0t)，求通过低通后得到的信号。并问是否失真。
    因为低通截止频率为4ω0，所以输出应该是2sin[ω0(t-2)]+2/3sin[3ω0(t-2)]，理
    想低通，显然不失真。

    下面就记不清了，还有这样一些题。

    A.求逆Z变换。好象是X(z)=0.5z/(z-0.5)(z-1)，双边变换，0.5<|z|<1；
      x(n)=-1/2(0.5)^n*u(n-1)-u(-n)。

    B.关于码速与带宽。给出码速为fm(bps)，写出矩形码、升余弦码、Sa码的带宽；
      矩形码、升余弦码带宽为2πfm，Sa码带宽为πfm。要求写角频率。

    C.离散全通函数。H(z)=(z-3)/(z-k)，求k，求|H(exp(jω))|；
      k=1/3，|H(exp(jω))|=3。

    D.sin(ωt)的自相关函数；
　　　1/2cos(ωt)。全通函数见《信号与系统》下册书102页。

　　E.匹配滤波器；
      按定义，h(t)=s(T-t)。

　　F.功率谱。

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