这个例题的解答过程理解困难，谁帮我诠释一下

我一个人考研，没研友，碰到问题只有呼救各位大大啦
出自二李的《数学一复习全书》P132
特别是红线划出的那些，无法理解。所谓的微分中值定理，他是不是用泰勒公式。还有他所谓的极限的不等式，是不是题目中的条件啊。我们有用极限证不等式，也有不等式求极限。他所谓的极限不等式是哪条啊？
毕业太久了，回来看书不懂，大家照顾一下我啊。

所谓的微分中值定理，可以理解为拉格朗日中值定理，也可以理解为泰勒公式；极限不等式是极限的保号性。