请教一道线性代数的题目，谢谢

各位师兄师姐，大家好，在下碰到一道线性代数的题目有些糊涂，来请教诸位。谢谢。
李永乐线性代数辅导交易 例3.15 P61
已知n维向量a1 ，a2， a3线性无关,若b1 ，b2 ，b3 可用a1 ，a2， a3线性标出，设（b1 ，b2 ，b3 ）=（a1 ，a2， a3）C
证明b1 ，b2 ，b3线性无关的充分必要条件是|C|不等于0.
在其证明必要性中证明的时候有r(B)=r(AC)<=r(C)<=3，
按道理r(AC)<=min（r(C)，r(A）），那么按意思r(C)就应该为最小了，按照题目给出的条件，结合必要性的证明方法应该是r(B)=r(A），r(A）才是最小。
然后下一步r(C)=3，矩阵C可逆，C|不等于0
对于这一步也没有任何证据表明矩阵C为3阶矩阵啊。
然后，在证明充分性的时候有这一步：
r(B)=r(AC)=r(A)我就糊涂了r(AC)=r(A)这又是从何而来？
我认为是不是条件中少写了
（b1 ，b2 ，b3 ）=（a1 ，a2， a3）C是非齐次线性方程呢？

b1 ，b2 ，b3 可用a1 ，a2， a3线性表出，（b1 ，b2 ，b3 ）=（a1 ，a2， a3）C可已经暗示了C为3阶矩阵；
证明充分性的时候，|C|≠0，则r(AC)=r(A)，因为A经过有限次初等变换可以得到AC与A的秩相等。