2011年考研数学首轮复习方法

　
　古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。伴随着奥运会的如火如荼，新一届大三学生们的集训也即将拉开序幕。他们的处境有些尴尬，一边是来自毕业设计和找工作的巨大压力，一边是关乎前途命运的生死决战。这期间必充满了矛盾和犹豫。那么就让我们放下沉重的思想包袱，重新调整好状态，准备迎战。首先来看看关于考研首轮复习，专家是如何建议的。
　　考研复习有别于新知识的教学，它是在学生基本掌握了高等数学知识体系，具备了一定的解题经验的基础上的复习数学；也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复习教学。实际上，数学复习工作概括起来就三句话：澄清概念（思维细胞）；归纳方法（何时用，用的要领）；学会思考。在此向进入数学第一轮复习的同学提五项建议：
　　一、夯实基础，知识与能力并重。
　　没有基础谈不上能力；复习要真正地回到重视基础的轨道上来，搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟，同时，对基础知识进行全面回顾，把艰涩难懂的数学概念转化成为自己能够理解的数学语言并形成自己的知识体系。
　　二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。
　　培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实的提高。
　　学习好数学要抓住“四个三”：1.内容上要充分领悟三个方面：理论、方法、思维；2.解题上要抓好三个字：数、式、形；3.阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言自如转化（文字语言、符号语言、图形语言）；4.学习中要驾驭好三条线：知识（结构）是明线（要清晰），方法（能力）是暗线（要领悟、要提练），思维（训练）是主线（思维能力是数学诸能力的核心，创造性的思维能力是最强大的创新动力，是检验自己大脑潜能开发好坏的试金石。）
　　三、讲究复习策略。
　　在第一轮复习中，要注意构建完整的知识网络，不要盲目地做题，不要急于攻难度大的“综合题、探究题”，复习要以中档题为主，选题要典型，要深刻理解概念，抓住问题的本质，抓住知识间的相互联系。考研的数学题目大多数都很常规，只不过问题的情景、设问的角度改变了一下，因此，建议考生在首轮复习中，不要盲目地自己找题，而应该在吃透课本的前提下，精做题。
　　数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方法固然是不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的的，其中的关键在于对待题目的态度和处理解题的方式上。
　　要精选做题，做到少而精。
　　只有解决高质量的、有代表性的题目才能达到事半功倍的效果，然而绝大多数的同学还没有辨别、分析题目好坏的能力，这就需要选一本比较全面的复习全书，以了解考研试题的形式、难度。
　　要分析题目。
解答任何一个数学题目之前，都要先进行分析。相对于比较难的题目，分析更显得尤为重要，我们知道，解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。当然在这个过程中也反映出对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。
     要学会总结
解题不是目的，我们是通过解题来检验我们的学习效果，发现学习中的不足的，以便改进和提高。因此，解题后的总结至关重要，这正是我们学习的大好机会，对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结：
　　1. 在知识方面
　　题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。
　　2. 在方法方面
    题目是如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。
　　3. 在解题步骤方面
　　能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。

　　四、注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。
　　用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通、引申推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性，对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源，丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与议程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。
　　在考研数学中常见的思想方法有：数形结合、分类讨论、函数方程和微元分析等
数形结合的思想方法
    数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
3.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.
4.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。

分类讨论的数学思想:
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论，线性代数用得比较多，尤其是在涉及线性方程组的题目时，对于未知参数常常需讨论取值。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。

    函数方程思想：
    函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

微元分析思想
对于未知参数常常需讨论取值。微元分析可谓是大学数学里最重要的思维方法了，不仅数学要用到，很多后续课程都要用到，具体的思路大家可以参考定积分的应用部分，书上也有很多具体例子，就不详细解释了，因为它实在是太有用了，所以我个人觉得必须熟练掌握。考研里的应用题就是一个从实际问题到数学模型的建模过程，然后再对这个数学模型求解，那么如何建立？一般就都是用微元法分析了，比如求面积、体积、弧长、变力作功、流量等等等等，从根本上来说都是相通的。有时还会结合极值问题，分一元函数和多元函数的极值两部分，多元函数有有条件极值和非条件极值，我做过一道模拟题，觉得出得相当的好，是先给一个随机变量，要求其参数的估计值，首先要求无偏，实际上这就给出了一个限制条件，然后要求最优，这时就成为了一个多元极值问题且是条件极值，这道题目把概率论和高数的内容串了起来，其实在复习的过程中见到此类综合题可以有意识的记下来，时常翻阅，体会出题者的心思。
调整思路，克服思维障碍时，注意数学方法的运用。
　　通过认真观察，以产生新的联想；分类讨论，使条件确切、结论易求；化一般为特殊、化抽象为具体，使问题简化等都值得我们一试，分析、归纳、类比等数学思维方法；数形结合、分类讨论、转化等数学思想是走出思维困境的武器和指南。
　

五、考研常考的16个知识点：
高数部分：(1)求极限及由极限值确定函数中的参数 　(2)平面图形的面积及旋转体的体积 (3)二重积分的计算 (4)多元函数的微分及最值问题 (5)解微分方程 (6)中值定理的应用证明 (7)幂级数的求和及函数展开成幂级数
线性代数部分(8)线性方程组或向量组的线性表示 (9)方程组有非零公共解及方程组同解问题 (10)向量组的线性相关性 (11)特征值与特征向量的问题及相似对角化 　(12)实对称矩阵和正定矩阵
概率与数理统计部分(13)一维随机变量函数的分布 　(14)二维随机变量函数的分布(离散，连续) 　(15)边缘分布，条件分布和联合分布函数 　(16)矩估计和最大似然估计

[ 本帖最后由 kulalala 于 2010-4-1 12:06 编辑 ]

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