（转载别人的）
数学分析
注意【】符号为处理上下标所用
一 设函数f(x):[0,+无穷）->[0,+无穷）一致连续，α属于（0，1]，求证：函数g(x)=
【f^α】(x)也在[0,+无穷）上一致连续。
二 设f(x,y)在R^2\｛（0，0）｝上可微，在(0,0)处连续，且【lim_(x,y)->0】偏f(x,
y)/偏x=0，【lim_(x,y)->0】偏f(x,y)/偏y=0。求证f(x,y)在(0.0)处可微。
三 设x_0属于(1,3/2),x_1=(x_0)^2,x_(n+1)=(x_n)^1/2+【x_(n-1)】/2，n=1,2…求证
：{x_n}收敛，并求其极限。
四 设f(x)在R上有连续导函数，f(0)=0，且曲线积分 【积_C】（e^x+f(x))ydx+f(x)
dy与路径无关，求【积 (0,0)->(1,1)】(e^x+f(x))ydx+f(x)dy
五 设α>1，求证，以下含参变量x的无穷积分【积 1->+无穷】arctan(tx)/t^αdt，定
义了(0,+无穷）上的一个可微函数，且满足xf'(x)-（α-1）f(x)+arctan(x)=0
六 设a,b,c都是正数，计算曲面积分【积积_S】x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy，其中S是上
半椭圆面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1,z>=0，方向朝上
七 设f(x)是定义在实轴上以2π为周期的奇函数，又f(x)有连续的导函数且满足f'(x)=
f(π/2-x)，试求f(x)
八 设【∑ n=1,+无穷】a_n是一个收敛的正项级数，求证：【∑ n=1,+无穷】(a_n)^(1-
1/n）也收敛。
九 设函数f(x)在[0,+无穷)上二阶可导，f(0)>=0，f'(0)>=0，且满足f(x)<=f''(x)，求
证:f(x)>=f(0)+f'(0)x
十 设{a_n}，｛b_n｝都是正数列，满足【lim_n->无穷】(b_n)/n=0，及【lim_n->无穷
】b_n((a_n/a_(n+1))-1)=γ>0
求证：(1)【lim_n->无穷】a_n=0 (2)级数【∑ n=1,+无穷】a_n收敛
线性代数与解析几何
一 填空题 每空5'
1. 二次曲线x^2-4xy+y^2+10x-10y+21=0的类型是______,通过转轴去掉交叉项的转角角
度是_______。
2. 以曲线｛y=x^2为准线，原点为顶点的锥面方程为______。
｛z=2
3. 以xOy平面上的曲线f(x,y)=0绕x轴旋转所得的旋转面方程是______。如果曲线方程为
x^2-y^2-1=0，此旋转面的曲面类型是______。
4. 设α_1,α_2,α_3,α_4为线性空间V中的4个相互无关的向量，则向量组α_1+α_2，
α_2+α_3，α_3+α_4，α_4+α_1的秩等于______。
5. 在3维实向量空间R^3中，设α_1=(-1,1,1)^T，α_2=(1,-1,0)^T,α_3=(1,0,-1)^T,
β=(-4,3,4)^T,则β在基{α_1,α_2,α_3}下的坐标为______。
6. 设n>2,则det(a_1+b_1 a_2+b_1 ……a_n+b_1)等于______。
(a_1+b_2 a_2+b_2 ……a_n+b_2)
( | | | )
(a_1+b_n a_2+b_n ……a_n+b_n)
7. 设n>1,矩阵A=[ 0 ………… 0 a_0]，则A的特征多项式为______。
[-1 0 ………… 0 a_1]
[ | -1 0 …… 0 a_2]
[ | | | | | ]
[ 0 ……………-1 a_n]
8. γ-矩阵[ γ-1 γ γ^2-1]的Smith标准型为______。
[3γ-1 γ^2+2γ 3γ^2-1]
[ γ+1 γ^2 γ^2+1]
9. 用Gram-Schmidt正交化方法将R^3的基｛(1,1,1)^T，(-1,0,-1)^T,(-1,2,3)^T}化成
的标准正交基为______。
10.定义为所有n阶实方阵构成的实线性空间V上的对称双线性函数为f(X,Y)=Tr(【X^T】
Y），X,Y属于V，二次型为Q(X)=f(X,X）,则Q(X)的正负惯性指数分别为______。
二 10' 求方程组{ x_1+ x_2+ x_3+ x_4+ x_5= 1 的通解
{3x_1+2x_2+ x_3+ x_4-3x_5=-2
{ x_2+2x_3+2x_4+6x_5= 5
{5x_1+4x_2+3x_3+3x_4- x_5= 0
三 15' 设空间上有直线l_1=(x-1)/3=y/1=z/0【*原题如此】,l_2=(x,y,z)=(3+2t,t,3t-
3)，设平面π与直线l_1,l_2平行且π与l_1的距离是91^1/2，求π的方程。
四 10’设A:U->V为数域F上的线性空间U到V上的线性映射，证明:dimKerA+dimImA=dimU
五 15’设A=( 2 -1 1)求方阵P，使得P^-1AP为A的Jordan标准型
( 2 2 -1)
( 1 2 -1)
六 10' 证明酉方阵的特征值模长为1
七 10' 设V是n维欧式空间，"(，）"为其内积，V^*为其对偶项，证明：
（1）对于每个给定的α属于V,映射f_α：V->R，β->(α，β）是V^*中的一个元素
（2）映射f:V->V^*，α->f_α是n维线性空间V到V^*的同构映射
八 20'【*本次考试本题目被取消】设数域F上有限维空间V上线性变换A和B满足AB=【*悲
剧了 此处漏记内容了，貌似是BaA】 （a属于F，a!=1）且A是可逆线性变换，证明
(1)B为幂零变换
(2)A和B有一个公共特征向量
[ 本帖最后由 snsnsn 于 2010-2-19 15:13 编辑 ] |
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