线性谐振子代数解法与边界条件

Nabla:
在用代数解法解线性谐振子问题时，似乎未考虑束缚态的边界条件，应当如何理解？（就是
书上那到思考题，请斑竹仔细说说）

Galois:
我想，简单一点说，就是：力学量的本征值是与表象无关的，这一点我们都知道，因为表象
变换不改变力学量的本征值。而态，是与表象有关的，所谓束缚态条件，是在坐标表象中求
态时才需要考虑的问题。提升下降方法，是一个与态无关的方法，不用到束缚态条件，而只
需要基本的对易关系，就可以求出所有本征值，注意是本征值。而解微分方程，是在坐标表
象，并取定了坐标和动量算符的形式来求解态，所以要用到束缚态条件。

看来，Dirac说符号法更能深入量子力学的本质，是很有道理的。


Monopole:
对斑竹的话有点不同意.
波函数描述的是态的性质,不多也不少,只要你承认坐标本征态的完备性.所以边条件一定会在
态里面体现出来.这点我们在箱归一化里可以看到,边条件不同,
给出的波函数也不同,而且直接对动量波函数有影响.
谐振子哈密顿量的因式分解,以及升降算符的对易关系当然与表象无关,但是问题在于,所有的
推导都建立在基态的存在性上,不同的限制条件,可能给出不同的基态,也可能无解.如果我们
用坐标表象,发现束缚态的
边条件不仅能保证动量算符的正确形式,而且给出了解析的解,那么这是谐振子的一个解,正确
无误.其他的定解条件或是根本没有定解条件也许能给出有意义的解,但我解不出,所以存而不
论,也不否定.

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