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标题: 任何实数X都是一个有理数列的极限，也是一个无理数列的极限，求证明过程 [打印本页]

作者: 云上日子2015 时间: 14-10-16 00:00
标题: 任何实数X都是一个有理数列的极限，也是一个无理数列的极限，求证明过程
如题，此题为数学分析（一），刘名生编著，P34第5题

作者: magic9901 时间: 14-10-16 03:39
本帖最后由 magic9901 于 14-10-16 05:04 编辑

证法一：可以由实数x的Dedekind分割的定义知道x是某个有理数序列的极限，x也是某个无理数序列的极限。
又或者
证法二：如果x是有理数，则x是有理数序列nx/(1+n)的极限，注意到e是无数，故也是无理数序列xe^{-1/n}的极限
如果x是无理数，则x是无理数序列nx/(1+n)的极限，
设x的连分数无限展式为x=[a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,a_{n+1},\cdots]，这里a_0是整数，a_k(k=1,2,\cdots)是正整数
则x_n=[a_o,a_1,a_2,\cdots,a_n]是有理数序列，且x_n的极限是x。

作者: 云上日子2015 时间: 14-10-16 22:20

magic9901 发表于 14-10-16 03:39
证法一：可以由实数x的Dedekind分割的定义知道x是某个有理数序列的极限，x也是某个无理数序列的极限。
又 ...

非常感谢，真的非常感谢

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