中值定理与微分方程的联系（考研专用小资料）

已知，f,g在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b)
证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)-f(ξ)=g"(ξ)-g(ξ).
这是07数学一19题的改编，难度增大了不少。下面我们考虑更一般的情况:

一般涉及二阶中值定理的问题都需要某函数的3个零点作为过渡，
比如本题。我曾经考虑过如下形式：
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内2阶可导，f(a)=f(b)=f(c)=0,a<c<b
证明：存在ξ∈(a,b),使得
  f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,其中p,q为常数且（△=p^2-4q≥0-----这是后加的条件，
以下都默认这一条件）.
我试图找出该问题更一般的的证明方法（自然，流畅），但最后都失败了。直到一次偶然翻到张筑生
老师的《数学分析新讲》（我最爱的数分书）第一册高阶常系数微分方程部分，受到启发从而找到了
一般的解法。
   传统的高数（不是高中数学---HAHA！）中在二阶常微分方程y"+py'+qy=0（*）部分，通过观察指数
函数exp(λx)的求导性质来推断它是（*）的解，从而得到一般解的表达公式。但这更象逆解法，要求高
了点。能否直接通过直接积分来求解呢？-----当然可以。

对于一阶线性方程已经获解，对于2阶常系数微分方程：
记 r^2+pr+q=0的两个根为λ1，λ2。引入微分算子D=d/dx,则（*）等价于(D^2+pD+q)y=0,
由此得到(D-λ1)(D-λ2)y=0,令L=(D-λ2)y -----(1),则(D-λ1)L=0 -----(2),
从（2）可以解出L，再代入（1）可求出y.

*****中值定理与微分方程关系紧密，比如1阶形式 f'(ξ)+N(ξ)f(ξ)=0-----(3).
可化为微分方程f'(x)+N(x)f(x)=0,
分离变量，再积分得,f(x)=exp[-∫N(x)dx]
移项得 f(x)exp[∫N(x)dx]=1-----(4),对(4)求导可以得到(3),对于多数情况可以直接
设辅助函数 F(x)=f(x)exp[∫N(x)dx]-----（5），一般只需在验证f(x)有2个零点即可。

下面回到原问题 (D-λ1)(D-λ2)f=0中来,f有3个零点，这暗示可能用两次公式（5）。
令L=(D-λ2)f,应用（5）可以证明L有2个零点。
证：设F(x)=f(x)exp[-λ2x],可推出L有2个零点；
再设φ(x)=L(x)exp[-λ1x],可以推出 存在ξ∈(a,b),使得
  f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,对于更高次项也可以用类似的方法。

推广：n 次多项式Pn(x)有n个相异实根,引入微分算子D=d/dx,Pn(D)为算子多项式,函数f(x)在[a,b]
上n阶可导且有n+1个不同的零点。
证明：存在ξ∈(a,b)，使得Pn(D)f(ξ)=0.
例如：P2(x)=x^2+5x+1,则P2(D)f=f"+5f'+f

支持一下！

做学问还行。考研根本不需要

很经典啊····要好好看

不错的东西啊

支持 ！！！！

ding.

好的，看看呀！

点搞不懂呢，说的太深奥了 [s:9] [s:4]

很经典的，陈文登书上明确都讲过，这是找辅助函数的办法。