复旦大学硕士研究生入学考试数学试题合集

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复旦大学2003级数学理科基地班选拔考试题
时间:2小时

1.求出1+1/spr(2)+1/sqr(3)+...+1/sqr(10000)的整数部分.
(这里sqr(x)代表x的平方根)

2.求下式在n→+∞时的极限:
1+1/2*cos(π/3)+1/4*cos(2/3*π)+...+1/(2^n)*cos(n/3*π)

3.有没有一个从无理数集到实数集的映射,使得所有无理数的象组成的集合
恰好构成实数集?若有,请举例;若无,请证明.

4.是否存在这样的集合T,使得:
T是一个复数集的子集;
对任意复数x,x∈T,-x∈T,x=0三者有且仅有一个成立;
若u∈T,v∈T,则u+v∈T;
若u∈T,v∈T,则uv∈T.
若有,请举例;若无,请证明.

5.证明:对于任意的a,b,只要有-1<a<b<1,那么必可找到一个正整数n,
使得a<sin(sqr(n))<b.

6.函数f对任意实数x,y及t(0<t<1)满足
f(tx+(1-t)y) ≤ t*f(x) + (1-t)*f(y),
证明: 对于任意x,y∈[0,1],可以找到一个C,使得
|(f(x)-f(y))/(x-y)| ≤ C

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[s:4]

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