关于数学期望的定义

数学期望的定义中要求绝对收敛。我觉得，定义一个概念是用来解决问题的，而期望就是为了定义一个概念，来表达随机变量在不同概率下的平均值，而实际上有些随机变量的平均值是不存在的——不存在就不存在吧，说明他的平均值是无法取到的。就如加了绝对收敛的条件后，毕竟还是有些不绝对收敛的。反正有存在期望的，有不存在的，为什么非要以绝对收敛作为存在的描述而不以一般收敛作为存在的描述呢？我觉得后者更自然一些，而前者更象是个“定义”。
大家觉得我的问题在哪里？