一个关于定积分的定理的证明（已解决）

帮忙证明，要具体步骤。谢谢~

[ 本帖最后由 love_naru 于 2008-10-14 20:52 编辑 ]

（1）（3）都小于等于0.

我已经有了一个证法了，呵呵，谢啦~~~~

声明：这个证法的版权不是我的，所以一开始没贴。

[ 本帖最后由 love_naru 于 2008-10-15 04:25 编辑 ]

那这问题就是你原题的问题了，随便取个点x0,f(x0)<g(x0)。
4楼的回答应该没问题吧。慢慢想想，就知道什么事了。

[ 本帖最后由 lashidelaohu 于 2008-10-14 20:49 编辑 ]

再清楚点：
原定理：[a,b]区间上，f(x)、g(x)均是连续函数，且f(x)<=g(x)，然后f(x)的定积分<=g(x)定的积分

现要证明：[a,b]区间上，f(x)、g(x)均是连续函数，且f(x)<g(x)，然后f(x)的定积分<g(x)定的积分

应该没歧异了吧？

我的意思是两个等于号都去掉

f(x)<=g(x)，推不出f(x)的定积分<g(x)定的积分
f(x)=g(x)就是一个反例。
如果是严格小于，肯定是存在某点x0，在这点f(x)<g(x)

然后刚看到你那个附件了，我不是数学系的，所以没看明白，唉……

首先，忽视掉我一楼的题目。
仅看我下面的题目：

书上有个定理，是说：
[a,b]区间上，f(x)、g(x)均是连续函数，且f(x)<=g(x)，然后f(x)的定积分<=g(x)定的积分。

我的问题是，去掉那个等于号这个定理怎么证。

这个问题的特例就是各位在证明时用到的：当g(x)=0的情况。（f(x)<0,f(x)的积分<0）

我的意思就是：原定理都是必须带等于号的，怎么去掉的等于号？

我跟斑斑讨论的意思是，带等于号的书中证明是从极限的保号性入手。然而，保号性取极限的函数必须带等于号。因为比如一个函数大于0，它的极限可能等于0，所以说只能得出的结论是当一个函数大于等于0，它的极限值也是大于等于0的。这个等于号不能去掉。
所以，要证明的话，我还考虑了用定积分的几何意义，从面积入手，但是感觉这么证不够严谨。

希望大家忽视掉一楼的题目，关注这个问题，谢啦~