帮忙看一道选择题，谢谢！

设λ1,λ2是3阶矩阵A的两个不同特征值，α1,α2是A的属于λ1的线性无关的特征向量，α3是A的属于λ2的特征向量，则α1+Aα3,A(α2-α3),Aα1+α3线性相关的充分必要条件是

(A)λ1=0,或λ1λ2=1
(B)λ2=0或λ1λ2=1
(C)λ1≠0,或λ1λ2≠1
(D)λ2≠0,或λ1λ2≠1

怎么做？

[ 本帖最后由 wdlt 于 2009-7-1 15:06 编辑 ]

很显然是个行列式的问题撒，行列式=0，有非零解，线性相关，克莱姆法则撒，直接算出答案是A。感觉16楼是对的，不过有点多。。。。呵呵拙见。。。

学习了。。

答案是A:

解答如下：
设有K1;K2;K3,使得:K1(a1+Aa3)+k2A(a2-a3)+k3(Aa1+a3)=0………………Ⅰ

因为λ1,λ2是3阶矩阵A的两个不同特征值，α1,α2是A的属于λ1的线性无关的特征向量，α3是A的属于λ2的特征向量
所以，α1,α2，α3线性无关，且有如下等式：
Aα2=λ1α2；
Aα1=λ1α1；
Aα3=λ2α3；………………………………………………………………Ⅱ；

将Ⅱ的三个等式带入方程Ⅰ，整理可得(K1+K3λ1)α1+k2λ1α2+(K1λ2-k2λ2+k3)a3=0;………………Ⅲ
由于α1,α2，α3线性无关，所以：
K1+K3λ1=0
k2λ1=0
K1λ2-k2λ2+k3=0……………………………………Ⅳ


由于Ⅰ线性相关，所以K1;K2;K3不全为零。即 方程组Ⅳ中K有非零解。
解方程可得答案A

应该是A吧

原帖由 wdlt 于 2009-7-1 17:21 发表
我还是不知道该怎么做：
(k1+k3λ1)α1+k2λ1α2+(k1λ2+k3-k2λ2)α3=0

接下来再怎么做？

α1，α2，α3线性无关，各自的系数都为0，
k1+k3λ1=k2λ1=k1λ2+k3-k2λ2=0，下面就是解方程组了。

α1，α2，α3线性无关，各个系数只有零解，列出系数＝0的三个方程，把这三个方程看成未知数是K1,K2,K3的方程，再用到K1,K2,K3不全为零得出答案。

我还是不知道该怎么做：
(k1+k3λ1)α1+k2λ1α2+(k1λ2+k3-k2λ2)α3=0

接下来再怎么做？

难怪，昨天看这道题就觉得没答案。
按线性相关的定义列式子，最终用齐次方程要有非零解的充要条件求解。