反三角函数的求导疑问（已解决）

都在图里了

[ 本帖最后由 aoaokala22 于 2009-7-20 11:38 编辑 ]

反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).
　　（1）正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
　　（2）余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。
　　（3）正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
　　反三角函数主要是三个：
　　y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；
　　y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用兰色线条；
　　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；
　　sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
引自百度百科
终于知道怎么回事了。

我这只有一本同济大学第五版的高等数学，看到反三角函数求导想到的，书上是这样写的
例6（p89）设x=siny，y属于（-90°，+90°）为直接函数，则y=arcsinx是他的反函数。函数x=siny在区间（-90°，+90°）内单调、可导，且siny导数=cosy大于0，所以得y=arcsinx导数=+1/根号1-x^2

我知道我哪错了，对反函数理解不够，函数要求是单射才能有反函数，所以只能考虑y属于（-90度+kπ，+90度+kπ），
但还是有个问题，当y属于（90°，270°）时，x=siny也是一个直接函数，cosy小于0，
y=arcsinx的导数该等于负的了，我哪分析错了呢

[ 本帖最后由 aoaokala22 于 2009-7-20 11:07 编辑 ]

y=Arcsinx跟y=arcsinx不一样吗，请讲详细些。

y=arcsinx的定义已经确定了定义区间，你认为的应该是y=Arcsinx

首先，考虑一下导数的几何意义就知道，一个函数的导函数是唯一的，那么不可能出现正负
剩下的就是解决到底是正还是负的问题了

复旦的教材是有解释的，对于反三角函数他的范围只取其中的一个周期所以Y也应该只考虑[-n,+n]

你可以看一下华东师范大学数学系编写的《数学分析》，具体地方不记得了，大概在反函数求导的地方吧！

会不会与反三角函数的值域有关？y=arcsinx,y是-90°到90°吧？反函数因为反函数要满足一一对应。

可通过图像来判断在[-1,+1]ARCSINX的图像是单调增的