正交变换X=QY的问题

5月的阳光 · 发表于 09-8-17 23:32:22

在实对称矩阵那，X=QY，这个Q可能求出来不止一种表达吧？？

[ 本帖最后由 cp1987916 于 2009-8-18 00:08 编辑 ]

莫伊灵 · 发表于 11-8-12 20:01:06

没事，这答案不唯一，只要符合正交阵就行

chjingsh · 发表于 10-12-18 18:25:18

可以不唯一。
对称双线形xTAx，经正交变换x=Qy变换后，变为
yTBy，B=QTAQ，B为对角形。且B的对角元为A的特征值。
求Q的过程就是求A的单位特征向量的过程，但是我们知道，某一个特征值对应的特征子空间的维数可能大于1，此时对应的正交特征向量的选取不唯一。（例如2维空间里的正交单位向量对很多）
所以：
1若A的每个特征值对应的特征子空间维数为1，则Q在差一个列向量的轮换及符号的意义下唯一。
2若A的每个特征值对应的特征子空间维数大于1，则Q不唯一。

目标450分 · 发表于 10-12-15 12:56:30

对于2重根的的两个特征向量，几何意义可理解为在一个平面内，找两条互相垂直的直线，这个肯定不是唯一的

目标450分 · 发表于 10-12-15 12:49:11

总结一下，，，实对称矩阵若有三个不同的特征值，，则求出的那个Q一定是唯一的
若有相同的特征值，则重根对应的特征向量可以不唯一，于是Q就不唯一。

jy00812845 · 发表于 10-12-15 12:25:45

由于用私密特正交法时得出向量不唯一

joeshelly · 发表于 09-8-25 11:47:34

答案不唯一！！！！

xiaoliangzai · 发表于 09-8-25 11:40:19

我也碰到这种问题，还没弄明白，请高手出来指点啊

xiajianlei · 发表于 09-8-24 23:54:31

前几天做了几个这样的题发现还真是大问题特别注意了下有时候取的特征向量不同，
运算的难易程度也不一样

5月的阳光 · 发表于 09-8-18 12:56:39

我也觉得啊，不过不知道怎么去证明，如果这种题在考试出现，我想那答案应该有几种表达的方式

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