关于二、三重积分的对称性的问题

被积函数（奇偶性）与积分域（对称性型）是怎么样关系，函数结果就是0或者就是几倍的面域中的一部分？
做题经常遇到这类题，也看了各种解析~就是不能找到个全面点的讲述~
哪位能指点下~或者论坛有过这方面的总结~
感激不尽~

用不同积分的几何意义就很明显了。例如二重积分的几何意义是体积，被积函数就是高，在底面积相同的情况下（即积分区域关于坐标轴对称），被积函数如果是奇函数，那么积分结果自然为零；若为偶函数，就是二倍关系了。再例如，三重积分的几何意义是质量，被积函数就是密度，在体积相同的情况下（即积分区域关于坐标平面对称），被积函数若为奇函数，结果为零；若为偶函数，二倍。第一类曲线积分（几何意义是弧段质量）和第一类曲面积分（几何意义曲面质量）与此类似。需要注意的是，第二类的曲线积分（做功）第二类曲面积分（流量），这牵扯到方向问题

这个问题我也经常遇到，老是弄错！关键是类型比较多，也不太好总结！

从大处看这个问题，如果能把积分区域分成两部分，而两部分的积分结果是一样的，那就是2倍，如果积分结果差一个负号，那结果就是0
结合奇偶性来看这个问题
如果积分区域对称，而积分函数同时具有奇偶性，就可以利用对称性简化问题了
对称分为关于x轴对称和关于y轴对称，你就想象一下把积分区域关于x轴或y轴分成两半，每一部分积分的结果就是在这个区域上的曲顶柱体的体积
自己比划一下，看看奇函数会怎样，偶函数又会怎样？这里的奇函数或偶函数应该是关于谁的？
别人告诉你结果你总会觉得乱糟糟的记不住，自己比划一下，搞清楚了你就会觉得很自然了