实对称矩阵的合同

李王全书P600，选择题1答案中的问题。原题：
若A、B都是n阶实对称矩阵，A、B合同的充要条件是： (C) A、B的全部特征值相等  (A、B、D三个选择枝省略）
答案给出的解答是，A、B的全部特征值相等，既不是A、B合同的必要条件，也不是充分条件。

本人认为这个答案是错的，并且由此可以得出一系列有益的结论。
首先，若A、B都是n阶实对称矩阵，它们就都可以相似对角化，并且可将这种相似变换通过正交化转变成正交变换，而正交变换同时也是合同变换，变换后的对角阵由它们各自的特征值组成。
由此，若实对称矩阵A、B的全部特征值相等，那么它们都与同一个对角阵相似并且合同，根据合同的传递性，A、B也合同。
所以实对称矩阵A、B的全部特征值相等，是A、B合同的充分条件，但不是必要条件
由此我们得到一些有用的结论
1）如所周知，矩阵A、B相似，则A、B有相同的特征值，反之不成立；但如果加上实对称的条件，那么就成立了，即：实对称矩阵A、B相似的充要条件是特征值相等
2）但是对于合同，以上结论不成立，特征值相等是实对称矩阵A、B合同的充分条件，而不是必要条件。理由如次：
    若实对称矩阵A、B特征值不相同，设分别为3，3，-1，0；2，4，-2,0（假设都是四阶矩阵），则A、B经过正交变换得到的对角阵，其对角线上元素分别为3，3，-1，0；2，4，-2,0，而这样的两个对角阵是合同的，所以A、B合同。特征值不相同的两个实对称矩阵可以合同，所以特征值相等不是实对称矩阵A、B合同的必要条件。
    上例中两个对角矩阵合同的原因是，它们有相同的正、负惯性指数。
    当然，也可以直接从实对称矩阵A、B有相同的正、负惯性指数得出它们合同的结论。
3）判断矩阵合同，可以直接计算特征值，得出正、负惯性指数

支持版主，辛苦了

jghnuijuuoi

liyhjiuuki

那么如果实对称矩阵是相似的，他们拥有相同的特征值，是否能够推出他们一定合同呢

矩阵的合同、相似、等价是矩阵的三大变换，有很多模糊的地方需要厘清，有机会打算整理一下。

第二点应该这样简化一下：
2）但是对于合同，以上结论不成立。
    特征值相等是实对称矩阵A、B合同的充分条件，而非必要条件，有如下反例：
    若四阶矩阵实对称矩阵A、B的特征值分别为3，3，-1，0；2，4，-2,0，则A、B有相同的正、负惯性指数，所以A、B合同。
    即：特征值相等是实对称矩阵A、B合同的充分而不必要条件。
   

我的表述不准确，数学中原因一词的说法较少，或者是充要，或者是充分不必要，或者是必要不充分。
两个实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数，对角矩阵也是实对称矩阵。
加油

两个对角矩阵合同的原因是，它们有相同的正、负惯性指数？？？