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ρ＝a(sinθ／3)^3，求弧长时这个θ的范围怎么取，ρ在0～3派为正，3派～6派为负值，求长度时负值的那部分要不要求？求弧长的积分上下限怎么取

东海门人 发表于 2013-8-11 00:01
r=a(sin(θ/3))^3 的全长，这题应是求定积分，积分区间为[0，6π]，即积分下限为0，上限为6π，于是，r=∫a ...

这位大神，你求得答案不对。。。。。求它的全长应该是L=∫((rˊ）^2+(r)^2)^0.5 dθ，那么这个积分的上下限怎么取？是取到3π还是6π

r=a(sin(θ/3))^3 的全长，这题应是求定积分，积分区间为[0，6π]，即积分下限为0，上限为6π，于是，r=∫a(sin(θ/3))^3 dθ，积分下限为0，上限为6π，换元，令α=θ/3，则dθ=3dα，sin(θ/3)= sinα，α的积分区间为[0，2π]，即积分下限为0，上限为2π。由于sinα在（0，π）和（π，2π）于以点α=π对称，所以积分时计算到π，而对积分值2倍即可；而对于θ，则只算到3π即可。r=2∫3a(sinα)^3 dα，积分下限为0，上限为π，进一步α的积分区间改为[0，π/2]，即积分下限为0，上限为π/2，4倍积分值即可，故有，r=4∫3a(sinα)^3 dα，积分下限为0，上限为π/2，r=4∫3a(sinα)^3 dα=12a∫(sinα)^3 dα=12a[－（sin²αcosα）/3－（2/3）cosα]| 积分下限为0  上限为π/2=12 a[0－（－2/3）]=8∴r=8

θ属于（3π，6π）的时候对应的r小于0