高数证明题~~求教！！！

想了一晚上了，高手帮忙啊

证明：因为可导且连续，
f(0)=f(1),所以存在&，使f(&)\'=0
又因为l(x)\'l=limf(x)-f(0)/xl<1
根据保号性可知,f(x)-f(0)/x<1
即f(x)为单调减少函数
即lf(x1)-f(x2)l<1/2
所以得证.

2楼的证明看不明白。
我的证明如下：

和楼上的做法差不多

| f(x) - f(y)| = |f\'(&)|*|x - y| < | x - y|                                        .......(Lagrange 中值定理)
这里,不妨设 0<= x1 < x2 <= 1
2 |f(x2) - f(x1)| = | f(x2) - f(1) + f(0) - f(x1) + f(x2) - f(x1)|          ......(使用了 f(1) = f(0))
                       <=|f(1) - f(x2)| + |f(x1) - f(0)| + |f(x2) - f(x1)|    .......(绝对值不等式关系)
                       < 1 - x2 + x1 - 0 + x2 - x1 = 1

于是, |f(x2) -- f(x1)| < 1/2.
证毕.

原帖由 freewolf001 于 2007-11-22 01:16 发表
证明：因为可导且连续，
f(0)=f(1),所以存在&，使f(&)\'=0
又因为l(x)\'l=limf(x)-f(0)/xl

这种求法,令人费解.

除了 f(0)=f(1),所以存在&，使f(&)\'=0  是正确的(使用 Rolle 定理).

其他都是没有没有根据的.

3楼高手啊，怎么会想到分类的啊。。。

很欣赏5楼的同学
看来你初等数学基础很好啊
只用了一次拉格朗日
老师常说
可以把高等数学的问题尽量引入到初等数学的领域来证明
简化步骤
5楼的证法算一个典型例子吧

3楼讨论的并不全面
5楼的很好！

5楼的真的是很强呢