关于方程根的问题

假设[0，+无穷）内处处有二阶导f''（x）>=0，且f（0）=-1，一阶导f'（0）=2.
证明：在（0，+无穷）内方程f（x）=0仅有1个实根。
【由于打不出正无穷符号，我就用汉字“无穷”了，还有大于等于符号用“>=”表示了】

不一定完全证明出来，给些思路，谢谢了。

二阶导大于零说明一阶导单调递增，一阶导在零处的值能说明一阶导大于零，则推断出函数单调递增，又因为f（0）=-1，所以结论得出。

原帖由 yexumingtian 于 2009-6-22 20:26 发表
二阶导大于零说明一阶导单调递增，一阶导在零处的值能说明一阶导大于零，则推断出函数单调递增，又因为f（0）=-1，所以结论得出。

我觉得你的这种证法还不够完全，还必须找到某个点比如x0  使得f(x0)>0才行
我的证发是f(x)>=g(x)=2x-1  当x>1/2时  g(x)>0  此时f(x)>0又f(0)=-1<0且f(x)单增所以
f(x)=0仅有1个根

为什么“f(x)>=g(x)=2x-1”  假设的？假设的东西要验证是否成立列

原帖由 yexumingtian 于 2009-6-22 20:26 发表
二阶导大于零说明一阶导单调递增，一阶导在零处的值能说明一阶导大于零，则推断出函数单调递增，又因为f（0）=-1，所以结论得出。

如何证明有大于0的f（x）值？

原帖由 Satan-xu 于 2009-6-22 21:08 发表

我觉得你的这种证法还不够完全，还必须找到某个点比如x0  使得f(x0)>0才行
我的证发是f(x)>=g(x)=2x-1  当x>1/2时  g(x)>0  此时f(x)>0又f(0)=-1

不是假设的  是根据题意来的
f(x)过（0，-1）点，单增而且斜率>=2
由这些条件就可以得出f(x)>=g(x)=2x-1

[s:8] [s:8] [s:8]
不需要那么复杂吧，利用凹函数的单调性  和边界点的值  就可以判定曲线和X轴只有一个交点

[0，+无穷）内处处有二阶导 f\'\'（x）>=0

说明 [0，+无穷） 内f（x）凹曲线

又f\'（0）=2  f（0）=-1

则  f（0）在x轴下方 且 f\'（0）>0  单调递增

则。。。曲线和X轴只有一个交点即  在（0，+无穷）内方程f（x）=0仅有1个实根


ps: 对于这种 实根数目的题型，最好的方法是数型结合。

如果逻辑证明，需要相当严谨的思路。像这种题常出现在填空和选择题，答案越快越好

[ 本帖最后由 diablo77521 于 2009-6-22 23:21 编辑 ]

感谢两位的思路  

确实答填空选择题  没问题

但是答解答题  就必须要在两位给出的过程中 加入部分详细的证明过程
比如：由“f（0）在x轴下方 且 f\'（0）>0 单调递增”推出“曲线和X轴只有一个交点”【实际上这点对于熟悉函数性质的人来说，非常容易得出结论，但是却没有直接的定理，避免被扣掉一两分，也要注意哈^_^】

原帖由 Satan-xu 于 2009-6-22 22:23 发表

不是假设的  是根据题意来的
f(x)过（0，-1）点，单增而且斜率>=2
由这些条件就可以得出f(x)>=g(x)=2x-1

在解答题中 必须要证明这个“由这些条件就可以得出f(x)>=g(x)=2x-1”在[0，+无穷大)成立，不能因为f（x）一阶导数递增就直接得出f(x)>=g(x)=2x-1的结论  毕竟没有相关直接推导的定理存在

非常感谢 收获很大