关于差的无穷小代换

我看到有关无穷小替换的帖子好几个，我说下我的见解，希望对有的同学有些帮助，也希望同学们指正，共同进步哈！
        首先乘除法可以直接代换，所以我想说说加减。一般加减不能代换。
        因为我们所说的等价无穷小并不相等，而是相差一个高阶无穷小
           比如：         sinx~x(x~o)并不是说两个函数相等，而是sinx=x+o(x)  其中o(x)是关于x的高阶无穷小。
                          1-cosx=x^2/2+o(x^2).其中o(x^2).是关于x^2的高阶无穷小。


        这样我们就知道为什么一般加减法不能直接替换了，因为不同的函数相差的阶数是不相同的，
            比如   
                      sinx+cosx=sinx-（1-cosx）-1=x-x^2/2-1
             这是不正确的，写全应该是
                       sinx-cosx=x+o(x)-x^2/2-o(x^2)-1.                          而其中的o(x)-o(x^2)不等于0.
            所以两个不同函数就不能直接替换。这样大家也就看出来了，当两个相差的那个高阶无穷小相等的时候就可以替换了。所以同一个函数的减法就可以直接替换
        比如lim(x~0)sinax-sinbx=lim(x~0)ax-bx=0。


一点点浅见，请指正！

其实可以根据泰勒公式来求

很有帮助，谢谢