变限积分的问题，拜托了

设f(x)连续，且∫tf(2x-t)dt=1/2 arctanx^2,（注：定积分的区间是（0，x)，已知f(x)=1,求f(x)的表达式，求助各位大人，谢谢

左边做换元u=2x-t，得∫（2x-u）f(u)du，换元之后要记得换积分限，新积分限是（x，2x），把左边非积分变量提到积分号之前，再对等式两边求导，估计就可以了

兄弟啊，咱两的解法是一样的，可是不对啊，我说明一下，那个f(x)=1应该是f(1)=1,根据你那算法，得出来的f(x)表达式不满足f(1)=1啊？

原帖由 gduncanp 于 2009-9-24 02:45 发表
左边做换元u=2x-t，得∫（2x-u）f(u)du，换元之后要记得换积分限，新积分限是（x，2x），把左边非积分变量提到积分号之前，再对等式两边求导，估计就可以了

  换元差个符号，DT=-DU

令2x-t=u,则∫（2x-u)f(u)d(-u)区间是（2x,x)此式子即∫（2x-u)f(u)du 积分区间（x,2x),两边求导，即（2x-2x)f(2x)2-(2x-x)f(x)=x/1+x^4最后得出f(x)=-1/1+x^4,我算错了吗，这个不满足f(1)等于1

应该先把非积分变量提到积分号前面，这样第一次求导之后还会有一个积分号，然后再求一次导，就转变为微分方程的初值问题，f(1)等于1是为了确定解微分方程时产生的那个任意常数c，这种题有时候好像不会给出初值，而是要求自己去发现初值，从而确定C ，我也没有仔细做这题，你照上面说的去做一下看看。先把2x弄到微分号前面，再求导。李永乐的书有好几个地方讲过这种题，微分方程那章有这种题，解答很详细的。

原帖由 rxjhliuming 于 2009-9-24 14:59 发表
令2x-t=u,则∫（2x-u)f(u)d(-u)区间是（2x,x)此式子即∫（2x-u)f(u)du 积分区间（x,2x),两边求导，即（2x-2x)f(2x)2-(2x-x)f(x)=x/1+x^4最后得出f(x)=-1/1+x^4,我算错了吗，这个不满足f(1)等于1

你导数求错了，那个X是要提到积分前面，看成是XG(X)形式求导，G(X)是积分限函数。