设A为n阶方阵，而多项式f(x)和g(x)互素，证明：r[f(A)]+r[g(A)]=n+r[f(A)g(A)]

luoyangluobo · 发表于 10-11-26 17:28:32

设A为n阶方阵，而多项式f(x)和g(x)互素，证明：r[f(A)]+r[g(A)]=n+r[f(A)g(A)]
哪位高手能帮忙解答一下，谢谢了

luoyangluobo · 发表于 10-11-26 17:30:12

不知道从哪里下手，希望得到高人指点。

pjh · 发表于 10-11-26 21:20:22

你的题应该是函数A的多项式吧，把关于A的多项式看成为矩阵B，再根据秩公式即可

luoyangluobo · 发表于 10-11-26 22:11:33

恩，是，不好意思写错了，应该是证明：r[f(A)]+r[g(A)]=n+r[f(A)g(A)]

luoyangluobo · 发表于 10-11-26 22:21:05

由秩公式可以得到r[f(A)]+r[g(A)]<=n+r[f(A)g(A)]，要再证明r[f(A)]+r[g(A)]>=n+r[f(A)g(A)] 该怎么办？

aduan · 发表于 10-11-30 12:15:49

谢谢老师谢谢老师

weiwei89su · 发表于 10-12-6 03:06:13

凯莱公式或许有用

tianliangzh · 发表于 10-12-13 13:29:34

直接利用分块矩阵就行了。其中利用互素可得存在u(x),v(x)使得uf+vg=I即可

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