线性代数相关结论

1、行列式

1.         
行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；
2.         代数余子式的性质：
①、 和 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；
3.         代数余子式和余子式的关系：
4.         设 行列式 ：
将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；
将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；
将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；
将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；
5.         行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；
④、 和 ：副对角元素的乘积 ；
⑤、拉普拉斯展开式： 、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6.         对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；
7.         证明 的方法：
①、 ；
②、反证法；
③、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；
④、利用秩，证明 ；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵

1.         是 阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 有非零解；
， 总有唯一解；
与 等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是 的一组基；
是 中某两组基的过渡矩阵；
2.         对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；
3.         

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：
若 ，则：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ；
②、 ；（主对角分块）
③、 ；（副对角分块）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；
等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵 、 ，若 ；
2.         行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3.         初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若 ，则 可逆，且 ；
②、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；
③、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；
4.         初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；

③、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；
④、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；
⑤、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；
5.         矩阵秩的基本性质：
①、 ；
②、 ；
③、若 ，则 ；
④、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（※）
       Ⅰ、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；
       Ⅱ、
⑨、若 、 均为 阶方阵，则 ；
6.         三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如 的矩阵：利用二项展开式；
       二项展开式： ；
       注：Ⅰ、 展开后有 项；
Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质： ；
③、利用特征值和相似对角化：
7.         伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩： ；
②、伴随矩阵的特征值： ；
③、 、
8.         关于 矩阵秩的描述：
①、 ， 中有 阶子式不为0， 阶子式全部为0；（两句话）
②、 ， 中有 阶子式全部为0；
③、 ， 中有 阶子式不为0；
9.   线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：

①、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；
②、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；
10.     线性方程组 的求解：
①、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
11.     由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：
①、 ；
②、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）

③、 （全部按列分块，其中 ）；
④、 （线性表出）
⑤、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性

1.         个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；
个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2.         ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）
3.         矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例14)
4.         ；( 例15)
5.         维向量线性相关的几何意义：
①、 线性相关          ；
②、 线性相关       坐标成比例或共线（平行）；
③、 线性相关  共面；

6.         线性相关与无关的两套定理：
若 线性相关，则 必线性相关；
若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：
若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7.         向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 ；
向量组 能由向量组 线性表示，则 ；

向量组 能由向量组 线性表示

有解；

              
       向量组 能由向量组 等价

8.         方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；
①、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解

②、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；

③、矩阵等价： （ 、 可逆）；
9.         对于矩阵 与 ：
①、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；
②、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵 的行秩等于列秩；
10.     若 ，则：
①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；

②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）
11.     齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 只有零解 只有零解；

②、    有非零解 一定存在非零解；
12.     设向量组 可由向量组 线性表示为：

（ ）

       其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性： ；充分性：反证法）
       注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；
13.     ①、对矩阵 ，存在 ，    、 的列向量线性无关；
②、对矩阵 ，存在 ，      、 的行向量线性无关；
14.  线性相关

存在一组不全为0的数 ，使得 成立；（定义）
有非零解，即 有非零解；
，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15.     设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；
16.     若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；
5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵 或 （定义），性质：
①、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；

②、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；

③、若 、 正交阵，则 也是正交阵；
       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2.         施密特正交化：
；

     ;

3.         对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
4.         ①、 与 等价   经过初等变换得到 ；
， 、 可逆；
， 、 同型；
②、 与 合同   ，其中可逆；
                            与 有相同的正、负惯性指数；
③、 与 相似   ；
5.         相似一定合同、合同未必相似；
若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
6.         为对称阵，则 为二次型矩阵；
7.         元二次型 为正定：
的正惯性指数为 ；
与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；
的所有特征值均为正数；
       的各阶顺序主子式均大于0；
       ；(必要条件)

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1、行列式

1.         
行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；
2.         代数余子式的性质：
①、 和 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；
3.         代数余子式和余子式的关系：
4.         设 行列式 ：
将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；
将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；
将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；
将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；
5.         行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；
④、 和 ：副对角元素的乘积 ；
⑤、拉普拉斯展开式： 、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6.         对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；
7.         证明 的方法：
①、 ；
②、反证法；
③、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；
④、利用秩，证明 ；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵

1.         是 阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 有非零解；
， 总有唯一解；
与 等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是 的一组基；
是 中某两组基的过渡矩阵；
2.         对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；
3.         

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：
若 ，则：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ；
②、 ；（主对角分块）
③、 ；（副对角分块）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；
等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵 、 ，若 ；
2.         行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3.         初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若 ，则 可逆，且 ；
②、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；
③、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；
4.         初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；

③、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；
④、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；
⑤、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；
5.         矩阵秩的基本性质：
①、 ；
②、 ；
③、若 ，则 ；
④、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（※）
       Ⅰ、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；
       Ⅱ、
⑨、若 、 均为 阶方阵，则 ；
6.         三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如 的矩阵：利用二项展开式；
       二项展开式： ；
       注：Ⅰ、 展开后有 项；
Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质： ；
③、利用特征值和相似对角化：
7.         伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩： ；
②、伴随矩阵的特征值： ；
③、 、
8.         关于 矩阵秩的描述：
①、 ， 中有 阶子式不为0， 阶子式全部为0；（两句话）
②、 ， 中有 阶子式全部为0；
③、 ， 中有 阶子式不为0；
9.   线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：

①、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；
②、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；
10.     线性方程组 的求解：
①、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
11.     由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：
①、 ；
②、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）

③、 （全部按列分块，其中 ）；
④、 （线性表出）
⑤、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性

1.         个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；
个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2.         ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）
3.         矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例14)
4.         ；( 例15)
5.         维向量线性相关的几何意义：
①、 线性相关          ；
②、 线性相关       坐标成比例或共线（平行）；
③、 线性相关  共面；

6.         线性相关与无关的两套定理：
若 线性相关，则 必线性相关；
若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：
若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7.         向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 ；
向量组 能由向量组 线性表示，则 ；

向量组 能由向量组 线性表示

有解；

              
       向量组 能由向量组 等价

8.         方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；
①、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解

②、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；

③、矩阵等价： （ 、 可逆）；
9.         对于矩阵 与 ：
①、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；
②、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵 的行秩等于列秩；
10.     若 ，则：
①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；

②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）
11.     齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 只有零解 只有零解；

②、    有非零解 一定存在非零解；
12.     设向量组 可由向量组 线性表示为：

（ ）
       其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性： ；充分性：反证法）
       注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；
13.     ①、对矩阵 ，存在 ，    、 的列向量线性无关；
②、对矩阵 ，存在 ，      、 的行向量线性无关；
14.  线性相关

存在一组不全为0的数 ，使得 成立；（定义）
有非零解，即 有非零解；
，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15.     设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；
16.     若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；
5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵 或 （定义），性质：
①、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；

②、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；

③、若 、 正交阵，则 也是正交阵；
       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2.         施密特正交化：
；

     ;

3.         对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
4.         ①、 与 等价   经过初等变换得到 ；
， 、 可逆；
， 、 同型；
②、 与 合同   ，其中可逆；
                            与 有相同的正、负惯性指数；
③、 与 相似   ；
5.         相似一定合同、合同未必相似；
若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
6.         为对称阵，则 为二次型矩阵；
7.         元二次型 为正定：
的正惯性指数为 ；
与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；
的所有特征值均为正数；
       的各阶顺序主子式均大于0；
       ；(必要条件)