量子力学笔记 Phileas经典作品 177页

写在前面的话. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0 不让数学成为理解的障碍19
0.1 二阶、三阶行列式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.2 概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3 三角函数关系式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.1 两角和公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.2 倍角公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.3 半角公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.4 和差化积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.3.5 积化和差公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.4 积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.4.1 定积分的分部积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.4.2 定积分的性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.4.3 与三角函数相关的积分公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.4.4 详细推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.4.5 常用积分公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.4.6 详细推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.5 多重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.5.1 三重积分的理解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.5.2 球坐标下的三重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.5.3 二重积分的理解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.6 级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.6.1 泰勒级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.6.2 麦克劳林级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.6.3 常用级数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.6.4 欧拉公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.7 矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.8 矢量代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
0.9 坐标系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.9.1 极坐标系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.9.2 柱坐标系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
0.9.3 球坐标系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
0.10 哈密顿算子r 与拉普拉斯算子
(r2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
0.10.1 直角坐标系下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
0.10.2 球坐标系下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.10.3 拉普拉斯算子
(r2) 第一项几种等效表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.11 与r 相关的运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
0.12 rr = ~r
r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
0.13 r
~r = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
0.14 与拉普拉斯算子
(r2) 相关的运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.15 r2 1
r = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.15.1 直角坐标下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.15.2 球坐标下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.16 r2r = 2
r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0.16.1 直角坐标下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0.16.2 球坐标下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0.17 r 运算的基本公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0.17.1 梯度运算的基本公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0.17.2 散度运算的基本公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0.18 二阶常系数齐次线性方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1 量子力学的背景37
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目录量子力学笔记
1.1 瑞利——金斯黑体辐射公式推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2 Compton 效应（散射） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3 光量子论及物质波. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.1 planck 假设. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.2 Einstein 的推广——光量子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.3 de Broglie 的进一步推广——物质波. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 玻尔原子模型及索末菲量子化条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.1 The Bohr Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.2 玻尔的氢原子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.3 玻尔—索末菲量子化条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 薛定谔方程43
2.1 概率流守恒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2
∫
1 j (~r)j2dx3 与时间无关【曾书的思路】. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3
∫ +1
􀀀1 j (x; t)j2dx 与时间无关【导论的思路】. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 位置的平均值及物理意义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 动量的平均值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 在定态中几率流与时间无关. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 势阱与势垒49
3.1 无限深方势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 一维对称无限深方势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1.1 方法一. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1.2 方法二. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1.3 方法三. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1.4 基本讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1.5 讨论：粒子处于基态的动量分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2 非对称一维无限深方势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2.1 讨论一：计算坐标，动量的期望值x; p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.2.2 讨论二：计算坐标，动量的涨落
x;
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.3 二维无限深方势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.3.1 当a = b 时，能级的简并度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.3.2 个人见解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.4 三维无限深方阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.4.1 当a=b=c 时，能级简并度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.5 一维、二维、三维无限深方势阱态密度的讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 有限深一维对称方势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 一维谐振子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 谐振子的重要性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 代数解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2.1 归一化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2.2 求基态波函数进而求所有波函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 解析的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3.1 Hamilton 量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3.2 定态Schrodinger 方程（能量本征方程） . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3.3 能量本征值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3.4 波函数（本征函数） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.4 基本讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
22x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5.1 势能的平均值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5.2 动能的平均值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5.3 动量的概率分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5.4 一维谐振子处在第一激发态时概率最大位置. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5.5 动量表象中角动量lx 的矩阵元. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5.6 动量表象中角动量l2
x 的矩阵元. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5.7 谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 三维谐振子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 一维散射（势垒贯穿） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 对易关系69
4.1 对易式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
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目录量子力学笔记
4.2 基本对易式[^x; ^p] = i~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 坐标算符和动量算符的一些对易关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1 动量算符与位置函数的对易关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 角动量算符. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.1 角动量算符直接坐标下表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.2 角动量算符球坐标下的表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.3 角动量算符对易式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 本征函数83
5.1 动量^p 本征态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 动量x 分量^px = 􀀀i~ @
@x
的本征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1.1 位置表象下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2 坐标表象下. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 位置^x 本征态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 一维自由粒子的能量^H = ^p2
的本征态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 角动量(^l 2;^lz) 的共同本征态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6.1 升降算符法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 力学量随时间的演化85
6.1 Ehrenfest 关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 守恒量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 守恒量的性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 定态与守恒量的比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.3 守恒量的举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.3.1 [~r;H] = i~
m ~p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.3.2 [~p;H] = 􀀀i~rV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Ehrenfest 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.1 证法一. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.2 证法二. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 位力（virial）定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4.1 特例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Hellmann-Feynman 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 中心力场93
7.1 中心力场中粒子运动的一般性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1.1 径向方程的引入. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1.2 讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2 无限深球势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 氢原子97
8.1 氢原子的波函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 氢原子在基态 (r; ; ') = 1 pa3 e􀀀r
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.1 动量表象下的基态波函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.2 r 的平均值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.3 势能的V (r) = 􀀀e2
r
的平均值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.4 动能的平均值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.5 最可几半径–径向电子最容易出现的位置. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.6 基态的
x;
px 并验证不确定关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.7 基态下电子处于经典力学禁区T < 0 的概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.3 氢原子的一级斯塔克效应. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9 矩阵力学99
9.1 基本思想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2 同一量子态 在F 表象和F0 表象中的不同表示的关系： . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.3 算符的矩阵表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.4 算符所处表象的变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.5 本征方程的矩阵形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10 表象变换与Dirac 符号103
10.1 波动力学中的表象变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2 Dirac 符号下的表象变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2.1 态的表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2.2 波函数或本征函数的表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.3 Dirac 符号的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.3.1 Dirac 符号下的表象变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3.2 Dirac 符号下算符的矩阵表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3.3 Dirac 符号下算符F 表示的力学量的平均值表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.3.4 利用Dirac 符号求Schrodinger 方程不同表象下的表示. . . . . . . . . . . . . . . . 112
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11 自旋115
11.1 电子自旋的提出. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.2 自旋算符. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.3 自旋算符的本征值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.4 泡利算符. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.5 泡利算符的本征值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.6 含有自旋波函数的表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.7 自旋算符的矩阵形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.8 Pauli 矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.9 在z 表象中. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.10总角动量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12 双粒子系统123
12.1 无相互作用的双粒子系统（双粒子系统空间部分） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.1.1 例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.2 二自旋为1
2
粒子体系的自旋态（自旋部分） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.2.1 二自旋为1
2
粒子体系的自旋算符. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.2.2 角动量非耦合表象. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.2.3 角动量耦合表象. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13 微扰论127
13.1 非简并定态微扰论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.1.1 非简并定态微扰论运用的条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.1.2 能量的各级修正. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.1.3 能量、波函数的一级近似项. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13.1.4 能量二级近似项. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13.1.5 非简并定态微扰论的应用示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.2 简并定态微扰论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.2.1 简并能级一级修正. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.2.2 简并零级波函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.2.3 简并定态微扰法的应用–氢原子的一级斯塔克效应. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
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13.3 含时微扰理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.4 变分法求基态能量E0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.4.1 变分法处理步骤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.5 选择定则. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14 散射理论139
14.1 说在前面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.1.1 束缚态理论与散射理论的比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.2 粒子被另一粒子或力场散射的描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.3 量子力学中由解薛定谔方程来定散射截面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
14.4 散射截面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.5 中心力场中的弹性散射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.5.1 分波法（低能） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.5.2 Born 近似法（高能） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
14.5.3 Born 近似法计算各种散射的微分截面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A 曾谨言《量子力学》卷I 练习详解147
A.1 量子力学的诞生. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.1.1 de Broglie 的物质波. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.2 波函数与Schrödinger 方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.1 波函数的统计诠释. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.1.1 概率波，多粒子系的波函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.1.2 力学量的平均值与算符的引进. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.2.2 Schrödinger 方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.2.2.1 方程的引进. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.2.2.2 不含时Schrödinger 方程，能量本征值与定态. . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2.3 态叠加原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.2.3.1 量子态及其表象. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3 一维定态问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.1 一维定态的一般性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.2 方势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.3 一维谐振子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.4 力学量用算符表达. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.4.1 算符的一般运算规则. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.4.2 共同本征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.4.2.1 对易力学量完全集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.5 力学量随时间的演化与对称性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.6 中心力场. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.6.1 中心力场中粒子运动的一般性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.6.1.1 二体问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.6.2 Hellmann-Feynman 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.6.2.1 HF 定理在中心力场问题中的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.6.3 二维中心力场. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.6.3.1 二维无限深圆方势阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.6.4 一维氢原子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.7 粒子在电磁场中的运动. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.8 表象变换与量子力学的矩阵形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.8.1 力学量（算符）的矩阵表示与表象变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.8.2 Dirac 符号. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.9 自旋. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.9.1 电子自旋. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.9.1.1 自旋算符与Pauli 矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.9.2 总角动量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.9.3 二电子体系的自旋态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.9.3.1 自旋单态与三重态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.10 力学量本征值的代数解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.10.1 Schrödinger 因式分解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.10.2 两个角动量的耦合，CG 系数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.11 束缚定态微扰论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.12 量子跃迁. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.13 散射理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.13.1 散射现象的一般描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.14 其他近似方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

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