北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库

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内容简介
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第一部分　名校考研真题
　　说明：本部分从指定北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
　第6章　线性空间
　第7章　线性变换
　第8章　λ-矩阵
　第9章　欧几里得空间
　第10章　双线性函数与辛空间
第二部分　课后习题
　　说明：本部分对北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。课后习题答案经过多次修改，质量上乘，非常标准，特别适合应试作答和临考冲刺。
　第6章　线性空间
　第7章　线性变换
　第8章　λ-矩阵*
　第9章　欧几里得空间
　第10章　双线性函数与辛空间
第三部分　章节题库
　　说明：本部分严格按照北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　第6章　线性空间
　第7章　线性变换
　第8章　λ-矩阵
　第9章　欧几里得空间
　第10章　双线性函数与辛空间
第四部分　模拟试题
　　说明：参照北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了1套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
　北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套模拟试题及详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            
　　北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）是我国高校电子信息类专业广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
　　为了帮助参加研究生入学考试指定考研参考书目为北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）的考生复习专业课，我们根据教材和名校考研真题的命题规律精心编写了北京大学数学系《高等代数》（第3版）辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：
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　　2．[3D电子书]北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】（上册）[免费下载]
　　3．[3D电子书]北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】（下册）[免费下载]
　　不同一般意义的传统题库，本题库是详解研究生入学考试指定考研参考书目为北京大学数学系《高等代数》的配套题库，包括名校考研真题、课后习题、章节题库和模拟试题四大部分。最新历年考研真题及视频，可免费升级获得。为了方便题库上线和读者阅读，本题库分上、下两册，每章包括以下四部分：
　　第一部分为名校考研真题及详解。本部分从指定北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
　　第二部分为课后习题及详解。本部分对北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。课后习题答案经过多次修改，质量上乘，非常标准，特别适合应试作答和临考冲刺。
　　第三部分为章节题库及详解。本部分严格按照北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　　第四部分为模拟试题及详解。参照北京大学数学系编写的《高等代数》（第3版）教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了1套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
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内容预览
第一部分　名校考研真题
第6章　线性空间
一、选择题
1．下面哪一种变换是线性变换（　　）．[西北工业大学研]
A．

　 B．

C．

【答案】C查看答案
【解析】

不一定是线性变换，比如

则

也不是线性变换，比如给

而

不是惟一的．
2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（　　）．[西北工业大学研]
A．必相等　 　 B．可能相等亦可能不相等 C．不相等
【答案】B查看答案
【解析】比如在

中选三个向量组
(I)：0
(Ⅱ)

(Ⅲ)

．
若选（I）（II），秩

秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．
二、填空题
1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]
【答案】2；4．查看答案
【解析】在复数域上令

；则

是线性无关的．

则

此即证

可由

线性表出．

在实数域上，令

若

，其中

，则



此即

在R上线性关．

可由

线性表出，所以在实数域R上，有

三、分析计算题
1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求

之维数的一切可能值．[南京大学研]
解：取

的一组基

，再取

的一组基

则



＝秩




2．设U是由

生成的

的子空间，W是由

生成的

的子空间，求
（1）U＋W：
（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]
解：（1）令

可得

．所以

由于

为

的一个极大线性无关组，因此又可得

且

，故

为U＋W的一组基．
（2）令
　

因为秩

＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

再令

，则

故ζ为U∩W的一组基．
3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令

（1）证明：W关于Kn的运算构成Kn的一个子空间；
（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：
（3）对于非齐次线性方程组

求W的一个基．[华东师范大学研]
证明：（1）显然W≠

，又

因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以

即kα＋lβ∈W，此说明W是Kn的子空间．
（2）对线性方程组（A，B）Xn＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r（A，B）＝n－r＋1．
任取α∈W，存在t∈K，使

所以

是线性方程组（A，B）Xn＋1＝0的解．
这样，存在W到V的映射，

显然，这是W形到V的一个双射．又

α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则

所以

且

可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．
（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．

该方程组的一个基础解系为：

其在σ之下原像

即为W的一组基．
4．设V1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且


，
则和空间


与另一个重合．[上海交通大学研]
证明：因为　

所以　

由题设　

所以　 　

即

当

时，由

得

此时

当

时

因为

，所以

，此时


5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：
（1）存在

，使得

（2）存在V中一组基

，使

[北京大学研]
证明：（1）因V1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在

（2）令

，同样有

且

显然，

线性无关．令

，则存在

，且


线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组

（构成V的基），且有


6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：

则V成为实数域上的一个线性空间．
设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，
（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；
（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]
解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，

得

解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．
（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以

从而

又

，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．

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