华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详

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内容简介
目录
第12章　数项级数
　12.1　复习笔记
　12.2　课后习题详解
　12.3　名校考研真题详解
第13章　函数列与函数项级数
　13.1　复习笔记
　13.2　课后习题详解
　13.3　名校考研真题详解
第14章　幂级数
　14.1　复习笔记
　14.2　课后习题详解
　14.3　名校考研真题详解
第15章　傅里叶级数
　15.1　复习笔记
　15.2　课后习题详解
　15.3　名校考研真题详解
第16章　多元函数的极限与连续
　16.1　复习笔记
　16.2　课后习题详解
　16.3　名校考研真题详解
第17章　多元函数微分学
　17.1　复习笔记
　17.2　课后习题详解
　17.3　名校考研真题详解
第18章　隐函数定理及其应用
　18.1　复习笔记
　18.2　课后习题详解
　18.3　名校考研真题详解
第19章　含参量积分
　19.1　复习笔记
　19.2　课后习题详解
　19.3　名校考研真题详解
第20章　曲线积分
　20.1　复习笔记
　20.2　课后习题详解
　20.3　名校考研真题详解
第21章　重积分
　21.1　复习笔记
　21.2　课后习题详解
　21.3　名校考研真题详解
第22章　曲面积分
　22.1　复习笔记
　22.2　课后习题详解
　22.3　名校考研真题详解
第23章　向量函数微分学
　23.1　复习笔记
　23.2　课后习题详解
　23.3　名校考研真题详解

                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


　　华东师范大学数学系编写的《数学分析》（第4版）是我国高校数学类广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
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　　3．[3D电子书]华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解[免费下载]
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内容预览
第12章　数项级数
12.1　复习笔记
一、级数的收敛性
1．相关定义
（1）给定一个数列{un}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式
u1＋u2＋…un＋…　　　　（12-1）
称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中un称为数项级数（12-1）的通项或一般项．
数项级数（12-1）也常写作

或简单写作∑un．
（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为
　

　　　　 （12-2）
称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．
（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{Sn}收敛于S（即

），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作

或S＝∑un．
若{Sn}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．
2．重要定理
（1）级数收敛的柯西准则
级数（12-1）收敛的充要条件是：任给正数

，总存在正整数N，使得当m＞N以及对任意的正整数p，都有
　

　（12-3）
由定理（1），立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件．
（2）若级数∑un与∑vn都收敛，则对任意常数c，d，级数∑（cun＋dvn）亦收敛，且

（3）去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性．
（4）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．
二、正项级数
1．正项级数收敛性的一般判别原则
（1）正项级数∑un收敛的充要条件是：部分和数列{Sn}有界，即存在某正数M，对一切正整数n有Sn＜M．
（2）比较原则
设∑un和∑vn是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n＞N都有
un≤vn　
则
①若级数∑vn收敛，则级数∑un也收敛；
②若级数∑un发散，则级数∑vn也发散．
（3）设

　（12-4）

　（12-5）
是两个正项级数．若
　

　（12-6）
则
①当0＜l＜＋∞时，级数（12-4）、（12-5）同时收敛或同时发散；
②当l＝0且级数（12-5）收敛时，级数（12-4）也收敛；
③当l＝＋∞且级数（12-5）发散时，级数（12-4）也发散．
2．比式判别法和根式判别法
（1）达朗贝尔列别法，或称比式判别法
设∑un为正项级数，且存在某正整N0及常数q（0＜q＜1）．
①若对一切n＞N0，成立不等式

则级数∑un收敛．
②若对一切n＞N0,成立不等式

则级数∑un发散．
（2）比式判别法的极限形式
若∑un为正项级数，且

则
①当q＜1时，级数∑un收敛；
②当q＞1或q＝＋∞时，级数∑un发散．
（3）比式极限不存在时的判别法
设∑un为正项级数．
①若

，则级数收敛；
②若

，则级数发散．
（4）柯西判别法，或称根式判别法
设∑un为正项级数，且存在某正数N0及正常数l，
①若对一切n＞ N0，成立不等式

则级数∑un收敛；
②若对一切n＞N0，成立不等式

则级数∑un发散．
（5）根式判别法的极限形式
设∑un为正项级数．且

则
①当l＜1时，级数∑un收敛；
②当l＞1时，级数∑un发散．
（6）根式极限不存在时的判别法
设∑un为正项级数，且

则当
①l＜1时级数收敛；
②l＞1时级数发散．
3．积分判别法
设f为[1，＋∞）上非负减函数，那么正项级数∑f（n）与反常积分

同时收敛或同时发散．
4．拉贝判别法
（1）拉贝判别法
设∑un为正项级数，且存在某正整数N0及常数r，
①若对一切n＞N0，成立不等式

，
则级数∑un收敛；
②若对一切n＞N0，成立不等式

，
则级数∑un发散．
（2）拉贝判别法的极限形式
设∑un为正项级数，且极限

存在，则
①当r＞1时，级数∑un收敛；
②当r＜1时．级数∑un发散．
三、一般项级数
1．交错级数
（1）若级数的各项符号正负相间，即
u1－u2＋u3－u4＋…＋（－1）n＋1un＋…（un＞0，n＝1,2，…）， 　（12-7）
则称（12-7）为交错级数．
（2）莱布尼茨判别法
若交错级数（12-7）满足下述两个条件：
①数列{un}单调递减；
②

，则级数（12-7）收敛．
（3）若级数（12-7）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（12-7）的余项估计式为

2．绝对收敛级数及其性质
（1）若级数

　（12-8）
各项绝对值所组成的级数

（12-9）
收敛，则称原级数（12-8）为绝对收敛级数．
（2）绝对收敛级数一定收敛．
（3）绝对收敛级数的性质
①级数的重排
设级数（12-8）绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数．
②级数的乘积
设有收敛级数

　 （12-10）


　（12-11）
把级数（12-10）与（12-11）中每一项所有可能的乘积列成下表

　 　（12-12）
若级数（12-10）、（12-11）都绝对收敛，则对（12-12）中所有乘积uivj按任意顺序排列所得到的级数∑wn也绝对收敛，且其和等于AB．
3．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
（1）分部求和公式，也称阿贝尔变换
设∑i，vi（i＝1,2，…n）为两组实数，若令

（k＝1，2，…n）
则有如下分部求和公式成立：


（2）阿贝尔引理
若
①ε1, ε2.…，εn是单调数组；
②对任一正整数k（1≤k≤n）有

（这里

＝v1＋…＋vk），则记

，有

　
（3）阿贝尔判别法
若{an}为单调有界数列，且级数∑bn收敛，则级数

收敛．
（4）狄利克雷判别法
若数列{an}单调递减，且

，又级数∑bn的部分和数列有界，则级数

收敛．

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