陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第1章　集合与映射
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　1.3　名校考研真题详解
第2章　数列极限
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　2.3　名校考研真题详解
第3章　函数极限与连续函数
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　3.3　名校考研真题详解
第4章　导数和微分
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　4.3　名校考研真题详解
第5章　微分中值定理及其应用
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　不定积分
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　定积分
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
第8章　反常积分
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　8.3　名校考研真题详解
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内容预览
第1章　集合与映射
1.1　复习笔记
一、集合
1．集合的基本概念
（1）定义
①集合，又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素。通常用大写字母如A，B，S，T，…表示集合，而用小写字母如a，b，x，y，…表示集合的元素。
②若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为

或

（2）常用集合
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是数学分析中常用的集合，习惯上分别用字母N+，Z，Q和R来表示。
（3）集合的表示方式
①列举法
将集合的元素逐一列举出来的方式。列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
②描述法
设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x| x具有性质P}。
注：集合中的元素之间并没有次序关系，也就是说，在集合的表示中，同一元素的重复出现或在不同位置上出现不具有任何特殊意义。
（4）特殊集合
空集是不包含任何元素的集合，记为?。
（5）集合关系
①包含关系
设S，T是两个集合，如果S的所有元集都属于T，即

则称S是T的子集，记为

显然，对任何集合S，都有

如果S是T的一个子集，即

，但在T中存在一个元素x不属于S，即

则称S是T的一个真子集。
②不包含关系
如果S中至少存在一个元素x不属于T，即

那么S不是T的子集，记为

③相等关系
如果两个集合S与T的元素完全相同，则称S与T两集合相等，记为S=T。显然有

。
（6）基本的区间概念
①设a，b（a1，a2，…，an，…}，则称其为可列集。
注：每个无限集必包含可列子集，但是无限集不一定是可列集。例如，实数集R是无限集，但不是可列集。
（2）重要定理
①可列个可列集之并也是可列集。
②有理数集Q是可列集。
4.Descartes乘积集合
设A与B是两个集合。在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y）。把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的Descartes乘积集合，记为A×B，即A×B={（x，y）|x ∈A并且y ∈B}。
特别地，当A与B都是实数集R时，R×R（记作R2）表示的是平面Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。R×R×R（记作R3）表示的是空间Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。
二、映射与函数
1．映射的基本概念
（1）映射的定义
设X，Y是两个给定的集合，若按照某种规则f，使得对集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中惟一确定的元素y与之对应，则称这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为

其中y称为在映射f之下x的像，x称为在映射f之下y的一个逆像（也称为原像）。集合x称为映射f的定义域，记为Df。而在映射f之下，X中元素x的像y的全体称为映射f的值域，记为Rf，即

（2）映射构成三要素
①集合X，即定义域Df=X；
②集合Y，即限制值域的范围：

；
③对应规则f，使每一个x ∈X，有惟一确定的y=f（x）与之对应。
注意：①映射要求元素的像必须是惟一的。
②映射并不要求逆像也具有惟一性。
（3）特殊映射的定义
①单射、满射与双射
设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也具有惟一性，即对X中的任意两个不同元素x1≠x2，它们的像y1与y2也满足y1≠y2，则称f为单射；如果映射f满足Rf=Y，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f是双射（又称一一对应）。
②逆映射
设f：X→Y是单射，则由映射的定义知，对任一

它的逆像x∈X（即满足方程f（x）=y的x）是惟一确定的。对应关系

构成了Rf到X上的一个映射，称为f的逆映射，记为

其定义域为

值域为

显然，只要逆映射f-l存在，它就一定是Rf到X上的双射。
③复合映射
现设有如下两个映射

和

如果

那就可以构造出一个新的对应关系

将之称为f和g的复合映射。
这里要注意三点：
①复合映射

的构成，实质上是引入了中间变量u，因此关键在于

是否成立。如果这一条件得不到满足，就不能构成复合映射。
②映射f和g的复合是有顺序的。这就是说，

有意义并不意味着

也一定有意义，即使都有意义，即

都满足，复合映射

与

一般来讲也是不同的。
③若将映射f与它的逆映射f-1进行复合，则得到下述两个恒等式：

2．一元实函数
若在映射的定义中取集合

集合Y=R，则映射

称为一元实函数，简称函数。
写成

注意：这里f表示一种对应规则，对于每一个x∈D，它确定了惟一的y=f（x）∈R与x相对应。
3．初等函数
（1）基本初等函数
常数函数：y=c；
幂函数：y=xa（a∈R）；
指数函数：y=ax（a>0且a≠1）；
对数函数：y=logax（a>0且a≠1）；
三角函数：如y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx等；
反三角函数：如y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx等。
（2）相关定义
①初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数。
②自然定义域
初等函数的自变量的最大取值范围。如果一个函数f（x）没有指出它的定义域，则默认该函数的自然定义域为其定义域。
4．函数的分段表示、隐式表示与参数表示
（1）函数的分段表示
设A，B是两个互不相交的实数集合，φ（x）和ψ（x）是分别定义在集合A和集合B上的函数，则

是定义在集合A∪B上的函数。这样的表示方法称为函数的分段表示。分段表示可以分成任意有限段，甚至无限多段。
几个常用的分段表示函数
①符号函数sgn x（图1-2）

图1-2

它的定义域是D=（-∞，+∞），值域是R={-1，0，1}。
②“整数部分”函数（图1-3）
y=[x]=n，n≤ x＜n+1，n ∈Z。

图1-3
它的定义域是D=（-∞，+∞），值域是R=Z。
③“非负小数部分”函数（图1-4）
y=（x）=x－[x]，x∈（﹣∞，+∞）。

图1-4
它的定义域是D=（-∞，+∞），值域是R=[0，1）。
（2）函数的显/隐式表示定义
①函数的显式表示
函数形式均为y=f（x），即因变量y单独放在等式的一边，而等式的另一边是只含有自变量x的表达式。
②函数的隐式表示
是指通过方程F（x，y）=0来确定变量y与x之间函数关系的方式。
（3）函数的参数表示
在表示变量x与y的函数关系时，引入第三个变量（例如参数t），通过建立t与x、t与y之间的函数关系，间接地确定x与y之间的函数关系，即

这种方法称为函数的参数表示。
5．函数的简单特性
（1）有界性
有界性的两种定义
①若存在两个常数m和M，使函数y=f（x），x ∈D满足m ≤f（x）≤M，x ∈D，则称函数在D有界。其中m是它的下界，M是它的上界。
注意：当函数有界时，它的上界与下界不惟一。
②存在常数M>0，使函数y=f（x），x ∈D满足|f（x）|≤M，x ∈D。
（2）单调性
对函数y=f（x），x ∈D，若对任意x1，x2 ∈D，当x1＜x2时有f（x1）≤f（x2）（或f（x1）2））成立，则称函数f在D单调增加（或严格单调增加），通常记作↑（或f严格↑）；若对任意x1，x2 ∈D，当x1＜x2时有f（x1）≥f（x2）（或f（x1）>f（x2））成立，则称函数f在D单调减少（或严格单调减少），通常记作f↓（或f严格↓）。
（3）奇偶性
设函数的定义域D关于原点对称，即

若对一切x∈D，有f（－x）=f（x）成立，则称函数f是偶函数；若对一切x ∈D，有f（－x）=－f（x）成立，则称函数f是奇函数。
（4）周期性
若存在常数T>0，使得对一切x ∈D，有f（x+ T）=f（x）成立，则称函数f是周期函数，T称为它的周期。若存在满足上述条件的最小的T，则称它为f的最小周期。但并非每个周期函数都有最小周期，如Dirichlet函数

6．两个常用不等式
（1）定义
设a1，a2，…，an是n个正数，则称
①

是它们的算术平均值；
②

是它们的几何平均值；
③

是它们的调和平均值。
（2）重要定理
①三角不等式
对于任意实数a和b，都有

②平均值不等式
对任意n个正数a1，a2，…，an，有

等号当且仅当a1，a2，…，an全部相等时成立。

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