陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库

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内容简介
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第一部分　名校考研真题
　　说明：本部分从指定陈纪修主编的《数学分析》（第2版）为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。为方便题库上线和读者阅读，本题库分为上下册。
　第1章　集合与映射
　第2章　数列极限
　第3章　函数极限与连续函数
　第4章　导数和微分
　第5章　微分中值定理及其应用
　第6章　不定积分
　第7章　定积分
　第8章　反常积分
第二部分　课后习题
　　说明：本部分对陈纪修主编的《数学分析》（第2版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。课后习题答案经过多次修改，质量上乘，非常标准，特别适合应试作答和临考冲刺。
　第1章　集合与映射
　第2章　数列极限
　第3章　函数极限与连续函数
　第4章　导数和微分
　第5章　微分中值定理及其应用
　第6章　不定积分
　第7章　定积分
　第8章　反常积分
第三部分　章节题库
　　说明：本部分严格按照陈纪修主编的《数学分析》（第2版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　第1章　集合与映射
　第2章　数列极限
　第3章　函数极限与连续函数
　第4章　微　分
　第5章　微分中值定理及其应用
　第6章　不定积分
　第7章　定积分
　第8章　反常积分
第四部分　模拟试题
　　说明：参照陈纪修主编的《数学分析》（第2版）教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了1套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
　陈纪修《数学分析》（第2版）配套模拟试题及详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            
　　陈纪修主编的《数学分析》（第2版）是我国高校数学类专业广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
　　为了帮助参加研究生入学考试指定考研参考书目为陈纪修主编的《数学分析》（第2版）的考生复习专业课，我们根据教材和名校考研真题的命题规律精心编写了陈纪修《数学分析》（第2版）辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：
　　1．[3D电子书]陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解[免费下载]
　　2．[3D电子书]陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】[免费下载]
　　3．[3D电子书]陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解[免费下载]
　　4．[3D电子书]陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】[免费下载]
　　不同一般意义的传统题库，本题库是详解研究生入学考试指定考研参考书目为陈纪修《数学分析》的配套题库，包括名校考研真题、课后习题、章节题库和模拟试题四大部分。最新历年考研真题及视频，可免费升级获得。为了方便题库上线和读者阅读，本题库分上、下两册，每章包括以下四部分：
　　第一部分为名校考研真题及详解。本部分从指定陈纪修主编的《数学分析》（第2版）为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
　　第二部分为课后习题及详解。本部分对陈纪修主编的《数学分析》（第2版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。课后习题答案经过多次修改，质量上乘，非常标准，特别适合应试作答和临考冲刺。
　　第三部分为章节题库及详解。本部分严格按照陈纪修主编的《数学分析》（第2版）教材内容进行编写。每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　　第四部分为模拟试题及详解。参照陈纪修主编的《数学分析》（第2版）教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了一套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
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内容预览
第一部分　名校考研真题
第1章　集合与映射
本章暂未编选名校考研真题，若有最新真题会及时更新。
第2章　数列极限
一、判断题
1．对任意的p为正整数，如果

，则

存在。（　　）[重庆大学研]
【答案】错查看答案
【解析】根据数列收敛的Cauchy收敛准则，可举出反例：

，虽然对任意的

但

（

也可说明）。
2．对数列

和

若

是有界数列，则

是有界数列。（　）[北京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】设｜Sn｜0，存任N>0，使得当n>N 时，有

。因而

。即

所以


8．设

，试求

和

[北京大学2005研]
解：

在sinx∈（0,1]时是单调递增的，并且当x充分大时

所以

令

则由该子列可以得到

对f（x）的下极限，

而

，所以

令x=（2k+1）π，k→+∞可得


9．设

满足:

,

，证明

收敛．[武汉大学2005研]
证明：

因此，满足

，

的数列收敛。
10．证明：若

则数列

收敛，求其极限。[北京工业大学2010研]
证明：由

的构造，知

，

，且
　

，

.
所以，数列

单调递减且有下界，故其必收敛.
设

，对

两边取极限，得

，解之，得

. 所以

.
11．

存在，且对任意的P为自然数，有

，问

是否存在？举例说明。[天津大学2006研]
解：不一定存在。反例，

则

，且对任意的p为自然数，有

但

不存在。
12．设

，按提示思路写出三种方法证明

收敛（1）Cauchy收敛准则；（2）利用绝对收敛与一致收敛的关系；（3）利用Dirichlet判别法；（4）其他。[哈尔滨工业大学2006研]
证明：（1）利用Cauchy收敛准则。对任意的ε，存在

，对任意的n、m>N，有

（2）利用级数收敛。构造级数

因为

绝对收敛，即

收敛。
（3）利用级数收敛的Dirichlet判别法。

有界，同时

当n趋向无穷大时，单调递减且趋向0。
13．证明：

收敛。[浙江大学2006研]
证明：令

，n=1，2，…，不妨设

，得到

，故

的收敛性与级数

的收敛性相同。因为

而

故

为负项级数，利用错项相抵消的方法可知其收敛。
14．求

[大连理工大学2006研、北京理工大学2004研]
解：因为定积分

可积，所以对任意分割及

的任意取法，

存在且相等。又因为

对于

，分割可以选取等分法，

选为

，所以


15.n为自然数，令

，证明：当n为奇数时，f（x）是以2π为周期的函数。当n为偶数时，f（x）是线性函数与以2π为周期的函数之和。[北京航空航天大学2004研]
证明：当n为奇数时，

当n为偶数时，

设

，则

所以

是以2π为周期的周期函数，而

结论得证。
16．设

，

，证明

收敛并求其极限．[华中科技大学2008研]
证明：一方面，由归纳法易知

，即

有界；
另一方面，

，
于是

单调，从而

收敛．
设

，则

，解得

，所以

．
17．令

，取

，令

证明：（1）{x2n-1}单调减少；{x2n}单调增加；（2）{xn}极限存在，并求

．[上海师范大学2005研]
证明：（1）易知，f（t）在[0，∞）上严格单调减少，且

．因为

，

，继续进行这一过程知，{x2n-1}单调减少；{x2n}单调增加．
（2）因

，故

；因

，故

．
继续进行这一过程可知，对于任意的n∈N，有

；于是

存在，记为

存在记为B．由

可得

，
可解得

，于是有

。
18．已知实数列

收敛于

，且

，用定义证明

也收敛于

.[浙江师范大学2005研]
证明：记

，

，则

，存在

，使得


,
因

，故存在

，使得

，
令

，则当

时，有


即证得

也收敛于

.
19．计算下列极限

[武汉大学2004研]
解：（1）

（2）


20．求下列极限：



[浙江师范大学2006研]
解：（1）

（2）由归纳假设法，n=1，

成立，假设n=k，

，则

（因为

）
所以有

，由两边夹法则可知


21．设有数列

求

[西安交通大学2002研]
解：上极限定义为

，对任意的ε，存在N，当n>N时，都有

。而对任意的N，当n>N时，都有

下极限定义为

，对任意的ε，存在N，当n>N时，有

，而对任意的N，当n>N时，都有

。
由上述定义可得


22．求极限

[浙江师范大学2005研]
解：因

的周期为

，故当

为有理数时，存在正整数

和整数

使得

，这时当

时，

，

，
而当

为无理数时，

，故

，
因此，原式

。
23．设

满足：

证明：

收敛。[武汉大学2005研]
证明：令

则

此即压缩映像原理证明。利用Cauchy收敛准则证明，对任意的ε，有

取

，则对任意的n>N，有

，结论得证。
24．试证数列


有极限，并求此极限．[上海交通大学研]
证明1：当

时，可证

．故

当x≥6时为单调减小，且有下界大于0，故

存在．再考虑正项级数

，因为

由此可知级数

收敛，

，也可用反证法：假设

，则


证明2：当n≥11时

∴当n≥1时

单调减．故有




25．已知数列

满足条件

，证明

．[国防科技大学、四川大学研]
证明：用施笃兹公式


26．求

．[华中师范大学研]
解：令

，作级数

，

∴级数

收敛．


27．设连续函数f（x）在

上是正的，单调递减的，且

．证明：数列

收敛．[清华大学研]
证明：由假设及积分中值定理，则



，即

单调递减．又





，其中



，而f（n）>0



单调递减有下界．

收敛．
28．设

（1）若a为有限数，证明：

（2）若a为

，证明：

．[南京大学研]
证明：令

（1）

由Stolz公式：

（2）由于Stolz公式对

也成立．


29．求极限

[苏州大学2005研]
解：因为

而

因此


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