欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解

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内容简介
目录
第1章　集　合
　1.1　复习笔记
　1.2　名校考研真题详解
第2章　数列极限
　2.1　复习笔记
　2.2　名校考研真题详解
第3章　映射与实函数
　3.1　复习笔记
　3.2　名校考研真题详解
第4章　函数极限和连续性
　4.1　复习笔记
　4.2　名校考研真题详解
第5章　连续函数和单调函数
　5.1　复习笔记
　5.2　名校考研真题详解
第6章　导数和微分
　6.1　复习笔记
　6.2　名校考研真题详解
第7章　微分学基本定理及应用
　7.1　复习笔记
　7.2　名校考研真题详解
第8章　导数的应用
　8.1　复习笔记
　8.2　名校考研真题详解
第9章　积　分
　9.1　复习笔记
　9.2　名校考研真题详解
第10章　定积分的应用
　10.1　复习笔记
　10.2　名校考研真题详解
第11章　极限论及实数理论的补充
　11.1　复习笔记
　11.2　名校考研真题详解
第12章　级数的一般理论
　12.1　复习笔记
　12.2　名校考研真题详解
第13章　广义积分的敛散性
　13.1　复习笔记
　13.2　名校考研真题详解
第14章　函数项级数及幂级数
　14.1　复习笔记
　14.2　名校考研真题详解
第15章　Fourier级数
　15.1　复习笔记
　15.2　名校考研真题详解
第16章　Euclid空间上的点集拓扑
　16.1　复习笔记
　16.2　名校考研真题详解
第17章　Euclid空间上映射的极限和连续
　17.1　复习笔记
　17.2　名校考研真题详解
第18章　偏导数
　18.1　复习笔记
　18.2　名校考研真题详解
第19章　隐函数存在定理和隐函数求导法
　19.1　复习笔记
　19.2　名校考研真题详解
第20章　偏导数的应用
　20.1　复习笔记
　20.2　名校考研真题详解
第21章　重积分
　21.1　复习笔记
　21.2　名校考研真题详解
第22章　广义重积分
　22.1　复习笔记
　22.2　名校考研真题详解
第23章　曲线积分
　23.1　复习笔记
　23.2　名校考研真题详解
第24章　曲面积分
　24.1　复习笔记
　24.2　名校考研真题详解
第25章　含参变量的积分
　25.1　复习笔记
　25.2　名校考研真题详解
第26章　Lebesgue积分
　26.1　复习笔记
　26.2　名校考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


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内容预览
第1章　集　合
1.1　复习笔记
一、集合
1．集合和元素
（1）集合的定义
集合又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素．
（2）集合与元素的关系
设A是一个集合，x是一个元素．如果x是A的元素，则可说x属于A，并记作x∈A；
如果x不是A的元素，则说x不属于A，并记作

（3）集合的表示
①枚举法
将集合的元素列举出来表示集合的办法称为枚举法．
②条件法
通过指出集合中元素的特性来表示该集合．
（4）一些常见的集合
①N＝{1，2，…，n，…}＝{n|n是自然数}；
②R＝{x|x是实数}；
③Q＝{x|x是有理数}＝{x＝q／p|p，q是整数且p＞0}；
④R＝{x|x＞0}；
⑤

是xy平面上点（x，y）的全体。一般地，

称为n维空间．
2．集合的分类
（1）有界集和无界集
若集合A由n个元素组成，这里n是一个确定的自然数，则称集合A是有限集，不是有限集的集称为无限集．
（2）单点集
仅有一个元素a组成的集合{a}称为单点集．注意，a∈{a}但a≠{a}．
（3）可数集
如果一个无限集可表示成

则这个集合称为可列集．
（4）空集
一个元素也不存在的集合称为空集，记作

．
3．子集
（1）定义
设A，B是两个集合．如果B的元素都是A的元素，则称B是A的子集，并记为

若B不是A的子集，则记为

．
（2）命题
A是任意一个集合，必有

4．若干逻辑记号
（1）设P，Q是两个命题．

表示命题P成立时命题Q也成立，俗称从P可推出Q．
（2）

表示

且

即P成立的充要条件是Q成立．
（3）记号

意为存在，记号

意为每一个或任意的．
5．集合运算
设A，B是两个集合：
（1）并集A∪B
A∪B是A和B的元素汇总所成的集，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
（2）交集A∩B
A∩B是A和B的公共元素所成的集，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
（3）差集A－B
A－B表示由在A中但不在B中的元素所组成的集，即A－B＝{x|x∈A且x?B}．
（4）补集

设A是X的一个子集，A的补集（又称余集）

定义为

，即属于X但不属于A的元素的全体组成的集合．
6．集合运算公式

7．无限个集合的运算
（1）可列多个集合

的并集

表示将每个集合

的元素汇总而成的集合，即

（2）可列多个集合

的交集

表示由所有

的公共元素所组成的集合，即

二、数集及其确界
1．区间与邻域
（1）区间
①有界区间
设a，b是两个实数且a≤b，闭区间[a，b]，开区间（a，b），闭开区间[a，b）及开闭区间（a，b]分别指下列数集：

其中，数a，b称为端点，〈a，b〉用来泛指以上四种区间。若a＞b，则〈a，b〉理解为〈b，a〉．
②无穷区间

这里“＋∞”与“－∞”分别读作正无穷与负无穷．
（2）邻域
①开邻域
设a∈R，δ＞0．集合

称为点a的δ邻域，它表示了与a距离小于δ的x全体．
②闭邻域
设a∈R，δ＞0．集合

称为点a的δ闭邻域.
③去心邻域
设a∈R，δ＞0．集合

则称为点a的δ去心邻域．
2．上界与下界
（1）上界
设A是一给定的数集，若存在数M，使得

有x≤M，则称M为集合A的一个上界．
（2）下界
设A是一给定的数集，若

数m，使得

有x≥m，则称数m为集合A的一个下界．
（3）有界集
存在上界的集称为上有界集．存在下界的集称为下有界集．同时存在上界和下界的集称为有界集．
3．上确界与下确界
（1）上、下确界的定义
数集A的最小上界称为A的上确界，记为supA。A的最大下界称为A的下确界，记为infA．上、下确界统称确界．
（2）确界定理
上（下）有界的非空数集必存在（惟一）上（下）确界．
（3）上下确界常用的等价定义
①上确界等价定义
设A是一个数集，若数β（包括＋∞与－∞）满足以下两个条件：
a．

有x≤β；
b．β的任一邻域

中都含集合A的元素，
则称β是A的上确界．
②下确界等价定义
设A是一个数集，若数β（包括＋∞与－∞）满足以下两个条件：
a．

有x≥β；
b．β的任一邻域

中都含集合A的元素，
则称β是A的下确界．

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