陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第9章　数项级数
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　名校考研真题详解
第10章　函数项级数
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
第11章　Euclid空间上的极限和连续
　11.1　复习笔记
　11.2　课后习题详解
　11.3　名校考研真题详解
第12章　多元函数的微分学
　12.1　复习笔记
　12.2　课后习题详解
　12.3　名校考研真题详解
第13章　重积分
　13.1　复习笔记
　13.2　课后习题详解
　13.3　名校考研真题详解
第14章　曲线积分、曲面积分与场论
　14.1　复习笔记
　14.2　课后习题详解
　14.3　名校考研真题详解
第15章　含参变量积分
　15.1　复习笔记
　15.2　课后习题详解
　15.3　名校考研真题详解
第16章　Fourier级数
　16.1　复习笔记
　16.2　课后习题详解
　16.3　名校考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


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内容预览
第9章　数项级数
9.1　复习笔记
一、数项级数的收敛性
1．相关定义
（1）无穷数项级数
设x1，x2，…，xn，…是无穷可列个实数，称它们的和

为无穷数项级数（简称级数），记为

，其中xn称为级数的通项或一般项．
（2）数项级数的部分和
部分和数列



称为数项级数

的部分和数列．
（3）级数的收敛与发散
如果部分和数列{Sn}收敛于有限数S，则称无穷级数

收敛，且称它的和为S，记为

如果部分和数列

发散，则称无穷级数

发散．
2．级数的基本性质
（1）级数收敛的必要条件
设级数

收敛，则其通项所构成的数列

是无穷小量，即

．
注：只是级数收敛的必要条件，而非充分条件．
（2）线性性
设

，α，β是两个常数，则



（3）定理
设级数

收敛，则在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛，且其和不变．
二、上极限与下极限
1．数列的上极限和下极限
（1）相关定义
①在有界数列

中，若存在它的一个子列

，使得

则称

为数列

的一个极限点．
②记

是

的极限点}，则E显然是非空的有界集合，因此，E的上确界

和下确界

存在．E的最大值

称为数列

的上极限，记为

E的最小值

称为数列{xn}的下极限，记为

注：“ξ是数列

的极限点”可以等价地表述为：“对于任意给定的

，存在

中的无穷多个项属于ξ的ε邻域”．
（2）重要定理
①E的上确界H和下确界h均属于E，即

②设

是有界数列，则

收敛的充分必要条件是

．
（3）极限点定义的扩充
①定义 在数列

中，若存在它的一个子列

使得

则称ε为数列

的一个极限点．
②定理

存在（有限数、＋∞或﹣∞）的充分必要条件是

．
③定理设

是有界数列，则

的充分必要条件是：对任意给定的ε＞0，
a．存在正整数N，使得

对一切n＞N成立；
b．

中有无穷多项，满足

．
④定理设

是有界数列，则

的充分必要条件是：对任意给定的

a．存在正整数N，使得

对一切n＞N成立；
b．

中有无穷多项，满足

2．上极限和下极限的运算
（1）定理
设{xn}，{yn}是两数列，则
①

②若

存在，则

注：要求上述诸式的右端不是待定型，即不为（＋∞）或（﹣∞）等．
（2）定理
设{xn}，{yn}是两数列
①若xn≥0，yn≥0，则

②若

则

注：要求上述诸式的右端不是待定型，即不为0·（＋∞）等．
3．数列的上极限与下极限等价定义
（1）相关概念
设{xn}是一个有界数列，令

则{an}是单调增加有上界的数列，{bn}是单调减少有下界的数列，因此数列{an}与{bn}都收敛．
记

①当数列{xn}无上界而有下界时，则对一切n∈N＋，bn＝＋∞，定义H*＝＋∞,这时数列{an}单调增加，但也可能没有上界．如果

则由

可知

②当数列{xn}无下界而有上界时，则对一切n∈N＋，an＝﹣∞，定义h*＝﹣∞，这时数列{bn}单调减少，但也可能没有下界．如果

，则由

可知

③当数列{xn}既无上界又无下界时，则对一切n∈N＋，an＝﹣∞，bn＝＋∞，定义H*＝＋∞，h*＝﹣∞,所以对于任意实数数列，尽管其极限可以不存在，但H*与h*总是存在的（有限数或＋∞或﹣∞），且满足h*≤H*．
（2）相关定理
H*是{xn}的最大极限点，h*是{xn}的最小极限点．
三、正项级数
1．正项级数
（1）定义
如果级数

的各项都是非负实数，即xn≥0，n＝1，2，…，则称此级数为正项级数．
（2）正项级数的收敛原理
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界．若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到＋∞．
2．正项级数的收敛判别法
（1）比较判别法
①设

与

是两个正项级数，若存在正整数N与常数A＞0，使得
xn≤Ayn，n＝N＋1，N＋2，…，
则
a．当

收敛时，

也收敛；
b．当

发散时，

也发散．
②（比较判别法的极限形式）设

与

是两个正项级数，且

则
a．若0≤1＜＋∞，则当

收敛时，

也收敛；
b．若0＜1≤＋∞，则当

发散时，

也发散．
所以当0＜1＜＋∞时，

与

同时收敛或同时发散．
（2）Cauchy判别法
设

是正项级数，

则
①当r＜1时，级数

收敛；
②当r＞1时，级数

发散；
③当r＝1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散．
（3）d′Alembert判别法
设

是正项级数，则
①当

时，级数

收敛；
②当

时，级数

发散；
③当

时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散．
（4）Raabe判别法
设

是正项级数

则
①当r＞1时，级数

收敛；
②当r＜1时，级数

发散．
（5）积分判别法
设f（x）定义于[a，＋∞），并且f（x）≥0，进一步设f（x）在任意有限区间[a，A]上Riemann可积．取一单调增加趋于＋∞的数列{an}：

令

则反常积分

与正项级数

同时收敛或同时发散于＋∞，且

特别地，当f（x）单调减少时，取an＝n，则反常积分

与正项级数

同时收敛或同时发散．
四、任意项级数
1．任意项级数
（1）级数的Cauchy收敛原理
①级数

收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε＞0，存在正整数N，使得

对一切m＞n＞N成立．
②级数

收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε＞0，存在正整数N，使得

对一切n＞N与一切正整数p成立．
取p＝1，上式即为

，于是就得到级数收敛的必要条件

．
（2）Leibniz级数
①定义 如果级数

，则称此级数为交错级数．进一步，若级数

满足{un}单调减少且收敛于0，则称这样的交错级数为Leibniz级数．
②Leibniz判别法 Leibniz级数必定收敛．
③Leibniz级数的性质
a.对于Leibniz级数

，成立

b.对于Leibniz级数的余和

，成立

2.Abel判别法与Dirichlet判别法
（1）Abel变换
设{an}，{bn}是两数列，记

（k＝1，2，……），则

（2）Abel引理
设
①{ak}为单调数列；
②

为有界数列，即存在M＞0，对一切k，成立

，则

（3）级数的A-D判别法
若下列两个条件之一满足，则级数

收敛：
①Abel判别法：{an}单调有界，

收敛；
②Dirichlet判别法：{an}单调趋于0，

有界．
3．级数的绝对收敛与条件收敛
（1）定义
如果级数

收敛，则称

为绝对收敛级数．如果级数

收敛而

发散，则称

为条件收敛级数．
（2）定理
若

绝对收敛，则

与

都收敛；若

条件收敛，则

都发散到＋∞．
4．加法交换律
（1）定理若级数

绝对收敛，则它的更序级数

也绝对收敛，且和不变，即

（2）定理 设级数

条件收敛，则对任意给定的n，﹣∞≤a≤＋∞，必定存在

的更序级数

满足

．
5．级数的乘法
（1）定义
对于两个收敛的级数

与

，写出所有诸如


的项，将它们排列成下面无穷矩阵的形式：

然后，将所有这些项相加的结果定义为

与

的乘积．
（2）级数乘积的敛散性
①常用的排列次序与方式是下面所示的“对角线”排列与“正方形”排列．
a．对角线排列：

令

则称

为级数

与

的Cauchy乘积．
b．正方形排列：

令



则

就是级数

与

按正方形排列所得的乘积．
对于正方形排列所得的乘积，只要

与

收敛，则

总是收敛的，并成立

②定理如果级数

与

绝对收敛，则将


按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛，且其和等于

五、无穷乘积
1．相关定义
（1）设p1，p2，．．．pn,…（pn≠0）是无穷可列个实数，称它们的“积”
p1p2…pn…
称为无穷乘积，记为

，其中pn称为无穷乘积的通项或一般项．
（2）构造无穷乘积

的“部分积数列”



（3）如果无穷乘积的部分积数列

收敛于一个非零的有限数P，则称无穷乘积

收敛，且称P为它的积，记为

如果

发散或

收敛于0，则称无穷乘积

发散．
注：当

时，称无穷乘积

发散于0，而不是收敛于0．
2．重要定理
如果无穷乘积

收敛，则



3．无穷乘积与无穷级数
（1）无穷乘积的收敛
①定理 无穷乘积

收敛的充分必要条件是级数

收敛．
②推论 a.设an＞0（或an＜0），则无穷乘积

收敛的充分必要条件是级数

收敛．
b.设级数

收敛，则无穷乘积

收敛的充分必要条件是级数

收敛．
（2）无穷乘积的绝对收敛
①定义 当级数

绝对收敛时，称无穷乘积

绝对收敛．
②定理 设

，则下述三命题等价：
a．无穷乘积

绝对收敛；
b．无穷乘积

收敛；
c．级数

收敛．

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