欧阳光中《数学分析》（上册）配套题库【名校考研真题＋章节题库＋模拟试题】

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内容简介
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第一部分　名校考研真题
　　说明：本部分从指定欧阳光中主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
　第1章　集　合
　第2章　数列极限
　第3章　映射与实函数
　第4章　函数极限和连续性
　第5章　连续函数和单调函数
　第6章　导数和微分
　第7章　微分学基本定理及应用
　第8章　导数的应用
　第9章　积　分
　第10章　定积分的应用
　第11章　极限论及实数理论的补充
　第12章　级数的一般理论
　第13章　广义积分的敛散性
　第14章　函数项级数及幂级数
　第15章　Fourier级数
第二部分　章节题库
　　说明：本部分严格按照欧阳光中主编的《数学分析》教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　第1章　集　合
　第2章　数列极限
　第3章　映射与实函数
　第4章　函数极限和连续性
　第5章　连续函数和单调函数
　第6章　导数和微分
　第7章　微分学基本定理及应用
　第8章　导数的应用
　第9章　积　分
　第10章　定积分及定积分的应用
　第11章　极限论及实数理论的补充
　第12章　级数的一般理论
　第13章　广义积分的敛散性
　第14章　函数项级数及幂级数
　第15章　Fourier级数
第三部分　模拟试题
　　说明：参照欧阳光中主编的《数学分析》教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了1套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
　欧阳光中《数学分析》配套模拟试题及详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            
　　欧阳光中、姚允龙、周渊等主编的《数学分析》（复旦大学出版社）是我国高校数学类专业广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
　　为了帮助参加研究生入学考试指定考研参考书目为欧阳光中主编的《数学分析》的考生复习专业课，我们根据教材和名校考研真题的命题规律精心编写了欧阳光中《数学分析》辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：
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　　2．[3D电子书]欧阳光中《数学分析》（上册）配套题库【名校考研真题+章节题库+模拟试题】[免费下载]
　　3．[3D电子书]欧阳光中《数学分析》（下册）配套题库【名校考研真题+章节题库+模拟试题】[免费下载]
　　不同一般意义的传统题库，本题库是详解研究生入学考试指定考研参考书目为欧阳光中《数学分析》的配套题库，包括名校考研真题、章节题库和模拟试题三大部分。最新历年考研真题及视频，可免费升级获得。具体来说分为以下三部分：
　　第一部分为名校考研真题及详解。本部分从指定欧阳光中主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
　　第二部分为章节题库及详解。本部分严格按照欧阳光中主编的《数学分析》教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　　第三部分为模拟试题及详解。参照欧阳光中主编的《数学分析》教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了1套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
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内容预览
第一部分　名校考研真题
说明：本部分从指定欧阳光中主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第1章　集　合
本章暂未编选名校考研真题，若有最新真题会及时更新。
第2章　数列极限
一、判断题
1．单调序列

中有一个子序列

收敛，则

收敛．（　　）[武汉大学研]
【答案】对查看答案
【解析】不妨设

单增，即

又设

则

　　　　　　

可证：

用反证法，若

．那么


这与①式矛盾，因此

单调递增有上界a，从而有极限，即证

收敛．
事实上还可证

时，有

再由

，对上述ε，存在N2，当

时有

再令

，当n>N时



2．序列

的子序列

和

收敛，则

收敛．（　　）[武汉大学研]
【答案】错查看答案
【解析】举反例：数列

，

和

都收敛，但

不收敛．
3．序列

收敛，则序列

收敛，其逆命题也成立．（　　）[武汉大学研]
【答案】错查看答案
【解析】举反例：

收敛，但

不收敛．
4．

收敛，则

．（　）[武汉大学研]
【答案】错查看答案
【解析】举反例：

收敛，但


5．函数序列

，满足对任意自然数p及

，有

，则

一致收敛．（　　）[武汉大学研]
【答案】错查看答案
【解析】比如

在

上满足条件，但

在[0，1]上不一致收敛．
二、解答题
1．用极限定义证明，当a>1时，

，并讨论当0＜a≤1时，极限

是否存在。如果存在，极限是多少。[上海理工大学研]
证明：当a>1时，令

，则

。由

得

对于任意给定的ε>0，取

，则当n>N时，就有

，即

，所以

当0＜a＜1时，

；当a＝1时，


2．叙述

发散的定义，证明{cosn}，{sinn}发散。[大连理工大学研、武汉大学2006研]
证明：设

不以a为极限。存在

，对任意的N，有

，使得

，下证{sinn}不收敛。
存在

，对任意的N，有

，则有

所以

。（柯西（Cauchy）收敛准则）
3．证明：若数列

无上界，则必有严格单调增加且趋于＋∞的子列。[上海理工大学研]
证明：因为数列

无上界，所以存在

。同样因为数列

无上界，所以存在

。依次类推，可得到

的子列

满足

显然

是

的严格单调增加且趋于＋∞的子列。
4．设

定义

证明：
（1）

（2）

[四川大学、天津大学研]
证明：（1）

，由L’Hospital法则





（2）当x→＋∞时，令

则

由两边夹法则可知：


5．设

求极限

[华中科技大学研]
解：令

则

。利用Cauchy中值定理可得



此处应用了

和

，因为

而

所以


6．设0＜c＜1．

，

，证明：

收敛，并求其极限．[武汉大学、华中师范大学研]
证明：
方法一：用数学归纳法可以证明

事实上

，假设

，则

令



　①
其中ε介于

与

之间，由于0＜c＜1，再由①式可知

为压缩数列，故收敛，设

由于




方法二：先用数学归纳法可证

②
再用数学归纳证明

　③
显然

，归纳假设

，则

从而③成立．
由②，③知

单调递增有上界，

，

．注意到l＜1，


7．证明：

为递减数列；

[华东师范大学研]
证明：
证法一：（1）设









为递减数列．
（2）由

严格增且

，故

，再由

严格减且

故

即

取对数

于是

证法二：（1）因为




①



再由①式知



为递减数列．
（2）由于

故

②

　③
由②，③即证


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