伍胜健《数学分析》（第2册）配套题库【名校考研真题＋章节题库＋模拟试题】

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内容简介
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第一部分　名校考研真题
　　说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
　第7章　定积分
　第8章　广义积分
　第9章　数项级数
　第10章　函数序列与函数项级数
　第11章　幂级数
　第12章　傅里叶级数
第二部分　章节题库
　　说明：本部分严格按照伍胜健主编的《数学分析》教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　第7章　定积分
　第8章　广义积分
　第9章　数项级数
　第10章　函数序列与函数项级数
　第11章　幂级数
　第12章　傅里叶级数
第三部分　模拟试题
　　说明：参照伍胜健主编的《数学分析》教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了1套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
　伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            
　　伍胜健主编的《数学分析》是我国高校数学类专业广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
　　为了帮助参加研究生入学考试指定考研参考书目为伍胜健主编的《数学分析》的考生复习专业课，我们根据教材和名校考研真题的命题规律精心编写了伍胜健《数学分析》辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：
　　1．[3D电子书]伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解[免费下载]
　　2．[3D电子书]伍胜健《数学分析》（第1册）配套题库【名校考研真题+章节题库+模拟试题】[免费下载]
　　3．[3D电子书]伍胜健《数学分析》（第2册）配套题库【名校考研真题+章节题库+模拟试题】[免费下载]
　　4．[3D电子书]伍胜健《数学分析》（第3册）配套题库【名校考研真题+章节题库+模拟试题】[免费下载]
　　不同一般意义的传统题库，本题库是详解研究生入学考试指定考研参考书目为伍胜健《数学分析》的配套题库，包括名校考研真题、章节题库和模拟试题三大部分。最新历年考研真题及视频，可免费升级获得。具体来说分为以下三部分：
　　第一部分为名校考研真题及详解。本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
　　第二部分为章节题库及详解。本部分严格按照伍胜健主编的《数学分析》教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
　　第三部分为模拟试题及详解。参照伍胜健主编的《数学分析》教材，根据各高校历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了1套考前模拟试题，并提供详尽、标准解答。通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
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内容预览
第一部分　名校考研真题
说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第7章　定积分
1．设f（x）和g（x）在[a，b]上连续，证明：

其中


[哈尔滨工业大学研]
证明：不妨令

.当M=0时，f（x）≡0，结论显然成立，所以不妨设M＞0.
∵g（x）在[a，b]上连续，从而一致连续，所以

，当


时，






由ε的任意性，可知



2．设f（x）及g（x）在[a，b]上连续，f（x）≤g（x），且

证明：在[a，b]上，
f（x）≡g（x）．[湖南大学研]
证明：设F（x）=f（x）-g（x），从而在[a，b]上，F（x）≤0，且


下证F（x）≡0，

反证法：若不然，

，则存在

，使在[x1，x2]上F（x）＜0.从而

其中

，得出矛盾．
故在[a，b]上，F（x）=0，即f（x）≡g（x）.
3．计算

．[上海交通大学研]
解：作变换

，则

，当

时，

，当

时，

，所以


4．设f（x）连续，

且

有

，求x≥0时f（x）的值．[北京航空航天大学研]
解：由

得

，方程两边对x求导，得

而x＞0时，f（x）＞0，所以

，从而

（c为常数）.
又因为

，且f（x）连续，故



因此


5．给出有界函数f（x）在闭区间[a，b]上Riemann可积的定义．试举出一个在[a，b]上有界但不可积的例子，并给出证明．[上海大学研]
证明：Riemann可积的定义：设f（x）是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数．若对任意给定的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集

，只要

，就有

则称函数f（x）存区间[a，b]上Riemann可积．
在[a，b]上有界但不可积的例子：

在区间[a，b]的任何部分区间上均有

，所以

，它不趋于0．因此f(x)在[a，b]上不可积．
6．求定积分

．[上海大学2006研]
解：由于

是奇函数，故

，从而


7．求

．[南京理工大学2006研]
解：做变量替换

，则


8．设f（x）为[a，b]上的有界单调函数，证明：（1）函数至多只有可数个间断点；（2）讨论函数在[a，b]上的可积性．[江苏大学2006研]
证明：（1）设D是f（x）的第一类间断点集，令

，

，则

，故只需证明A、B为可数集即可．以A为例，对任意的

，选取有理数

，使得

．再选取有理数

和

，

，使当

时，

；而当

时，

（此由f（x）在X有单侧极限可知）．因此，对应法则

是从A到

的一个映射，而且是单射，这是因为若有

，

，使

，

，

，则

．注意到

，不妨设

，于是可取

，那么由前面的不等式，就得出

的矛盾．这说明A与

的一个子集对等，由

可数，则A可数．
（2）设f（x）为增函数，且f（a）＜f（b）（若f（a）=f（b），则f（x）为常量函数，显然可积）．对[a，b]的任一分割T，f（x）为增函数，f（x）在T所属的每个小区间

上的振幅为

于是有

由此可见，任给ε＞0，只要

，就有

所以f（x）在[a，b]上可积．
9．设f（x）在[0，＋∞）上连续有界，证明：

[华东师范大学2006研]
证明：记

．显然有

，又

，故对任意的
ε＞0，存在

，使得

由上确界的定义知，对上述的ε＞0，存在

，

．因为f（x）在

处连续，由连续函数的局部保号性知存在δ＞0，使得

，

．于是

由于

，所以存在

，使得

取

，则有

即

．
10．设函数f（x）在[a，b]上非负、连续、严格递增，g（x）在[a，b]上处处大于零、连续且

．由积分中值定理，对任意自然数n，存在

，使得

求极限

．[北京师范大学研]
解：因为g（x）在[a，b]上处处大于零、连续，所以存在c＞0使得当

时，有g(x)≥c．从而对任意的ε＞0，有

由于

，又f（x）在[a，b]严格递增，故由极限的保号性知，存在N＞0，使得当
n＞N时，有

，于是

．又由f（x）在[a，b]上严格递增知，当n＞N时，有

成立，故

．
11．设函数f（x）是[－1，1]上的连续函数，且有

，

，证明：至少存在两个不同元素

，使得

．[北京师范大学2006研]
证明：反证法．假设f（x）在（－1，1）内至多只有一个零点．若f（x）在（－1，1）内没有零点，不妨设f（x）在（－1，1）内恒正．由于f（x）在

处连续，故由连续函数的局部保号性知，存在充分小的δ＞0使得当

时．有

．于是

矛盾．
若f（x）在（－1，1）内只有一个零点c，则f（x）在

内恒不为零．若f(x)在

内恒正或恒负，可以类似前面的证明推出矛盾．若f（x）在（－1，c）内恒正，在（c，1）内恒负（f（x）在（－1，c）内恒负，在（c，1）内恒正的情况完全类似）．由于

，

，所以

．令

，则

，且g（x）在

内恒正，往后类似前面的证明即可推出矛盾．
12．设f（x）在[0，1]上Riemann可积，且

，求

．[浙江大学研]
解：因为f（x）在[0，1]上Riemann可积，所以存在M，使得

，则

．

则

．
13．利用可积函数条件证明：

在[0,1]上可积．[南京师范大学2006研]
证明：对[0，1]做任意分割T，注意到f（x）在[0，1]上有界，其不连续点为

且f（x）在[0，1]的任意区间上的振幅w≤1．对任意的ε＞0，由于f（x）在

上只有有限个间断点，故可积．因此，存在η＞0，对

的任意分法，只要

，就有

．显然，

，则对于[α，β]的任意分法，只要

，就有

．
令

，设

是在[0，1]上满足

的任意分法．设

，由上述证明，有

，显然又有

，所以

．于是

，则f（x）在[0,1]上可积．
14．设a＞0，求星形线

，

的全长．[汕头大学研]
解：由

，

，可得

于是全长


15．求由抛物线

与直线

所围图形的面积．[浙江师范大学研]
解：因为

的交点为（1，－1）与（9，3），所以由这两条曲线所围图形的面积为

，其中

，所以

．
16．求由圆柱体

与

所围立体的体积．[重庆大学研]
解：垂直于x轴上任意一点（x，0）的任意截面面积

，则由对称性可得


17．设摆线

，

有均匀密度，求它的重心．[中国科技大学研]
解：设重心坐标为

，则

．

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