李廉锟《结构力学》（第5版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/128362.html
目录                                                                                        封面
内容简介
目录
第12章　结构动力学
　12.1　复习笔记
　12.2　课后习题详解
　12.3　名校考研真题详解
第13章　结构弹性稳定
　13.1　复习笔记
　13.2　课后习题详解
　13.3　名校考研真题详解
第14章　结构的极限荷载
　14.1　复习笔记
　14.2　课后习题详解
　14.3　名校考研真题详解
第15章　悬索计算
　15.1　复习笔记
　15.2　课后习题详解
　15.3　名校考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


本书是李廉锟主编的《结构力学》（第5版）（下册）的配套电子书，主要包括以下内容：
（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对李廉锟主编的《结构力学》（第5版）（下册）的课后习题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精编考研真题，培养解题思路。本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。所选考研真题涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
（4）免费更新内容，获取最新信息。本书定期会进行修订完善，补充最新的考研真题和答案。对于最新补充的考研真题和答案，均可以免费升级获得。
                                                                                                                                    本书更多内容>>
                                                                                                                                                                                                                    使用说明                                                                                                   
                                                                                    

内容预览
第12章　结构动力学
12.1　复习笔记
【知识框架】

动力荷载与静力荷载

基本概念 自由振动和强迫振动
　 　结构动力计算的目的

　　振动自由度的定义
结构振动的自由度　 结构按自由度的数目分类：单自由度结构和多自由度结构
　确定结构的振动自由度
　无限自由度结构

　自由振动的原因：初始位移、初始速度
单自由度结构的自由振动　 不考虑阻尼时的自由振动
　考虑阻尼时的自由振动

　简谐荷载作用下单自由度受迫振动
单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动　 不考虑阻尼的纯受迫振动

考虑阻尼的纯受迫振动

　瞬时冲量作用于质点
单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动　 任意动力载荷作用下的质点位移公式

　　振动微分方程　 　两种特殊载荷作用下的质点位移公式
　按柔度法求解
多自由度结构的自由振动 按刚度法求解
主振型的正交性

多自由度结构在筒谐荷载作用下的的受迫振动 　按柔度法求解

振型分解法的优点　　按刚度法求解
振型分解法 振型分解法的步骤

　振动微分方程组的建立
多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动　 振动微分方程组的解耦
待定常数的确定
求解的具体步骤


　地震作用的基本概念 　地震作用的定义
地震作用的计算　地震作用的分类：水平地震和竖向地震
地震作用的实质
单自由度结构的地震作用计算
　　多自由度结构的地震作用计算

　梁的自由振动
无限自由度结构的振动 简谐均布干扰力作用下的受迫振动
计算频率的近似计算方法：能量法、集中质量法、用相当梁法计算桁架的最低频率
【重点难点归纳】
一、基本概念
1．动力载荷与静力载荷
（1）静力载荷
静力荷载是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
（2）动力载荷
①定义
动力载荷是指使结构产生不容忽视的加速度，因而必须考虑惯性力的影响的荷载。
②分类
a．周期荷载
第一，周期荷载是指随时间按一定规律改变大小的周期性荷载。
第二，简谐周期荷载是指按正弦（或余弦）规律改变大小的周期载荷。
b．冲击荷载
冲击载荷是指把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷载。例如打桩机的桩锤对桩的冲击、车轮对轨道接头处的撞击等。
c．突加荷载
突加荷载是指在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。例如粮食口袋卸落在仓库地板上时就是这种荷载。这种荷载包括对结构的突然加载和突然卸载。
d．快速移动的荷载
例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
e．随机荷载
随机荷载是指变化极不规则，在任一时刻的数值无法预测，其变化规律不能用确定的函数关系来表达，只能用概率的方法寻求其统计规律的载荷。例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建筑物的激振等。
（3）两者计算主要差别
二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。
2．自由振动和强迫振动
（1）自由振动
自由振动是指结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用的振动。
（2）强迫振动
强迫振动是指结构收到外部因素干扰发生振动，并在以后的振动动过程中还不断受到外部干扰力作用的振动。
3．结构动力计算的前提和目的
（1）结构动力计算的前提
结构在受迫振动时各截面的最大内力和位移都与结构自由振动时的频率和振动形式密切有关，因而寻求自振频率和振型就成为研究受迫振动的前提。
（2）结构动力计算的目的
确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计或检算的依据。
二、结构振动的自由度
1．定义
结构振动的自由度是指结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。
2．结构按振动自由度的数目分类
（1）单自由度结构
单自由度结构是指具有一个振动自由度的结构。
（2）多自由度结构
多自由度结构是指振动自由度大于1的结构。
3．确定结构振动自由度
（1）由确定质点位置所需的独立参数数目来判定
①如图12-1-1（a）所示结构，在绝对刚性的杆件上附有三个集中质点，它们的位置只需一个杆件的转角α便能确定，故其自由度为1。
②如图12-1-1（b）所示简支梁上附有三个集中质量，若梁本身的质量可以略去，又不考虑梁的轴向变形和质点的转动，其上三个质点的位置只需由挠度y1、y2、y3就可确定，故其自由度为3。
③如图12-1-1（c）所示刚架虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移y1和竖直位移y2两个独立参数才能确定，故其自由度为2。

图12-1-1
（2）由加入最少数量的链杆数目来判定
加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目即等于所加入链杆的数目。
例如图12-1-1（d）所示刚架上虽有四个集中质点，但只需加入三根链杆便可限制其全部质点的位置（12-1-1（e）），故其自由度为3。
4．无限自由度结构
（1）定义
无限自由度结构是指具有连续分布的不可忽略的质量的结构。
（2）举例
例如图12-1-1（f）所示的梁，其分布质量集度为m，可看作是无穷多个mdx的集中质量，所以它是无限自由度结构。
三、单自由度结构的自由振动
1．自由振动的原因
（1）结构具有初始位移
（2）结构具有初始速度
2．不考虑阻尼时的自由振动
如图12-1-2（a）所示，弹簧下端悬挂一质量为m的重物。取此重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。

图12-1-2
（1）刚度系数与柔度系数
①刚度系数
弹簧的刚度系数是指弹簧发生单位位移时所需加的力，简称刚度，用符号k11表示。
②柔度系数
弹簧的柔度系数是指弹簧在单位力作用下所产生的位移，简称柔度，用符号δ11表示。
③两者关系

（2）建立振动微分方程的方法
①刚度法
a．定义
刚度法是指通过列力平衡方程来建立振动微分方程的方法。
b．具体步骤
设质点m在振动中的任一时刻位移为y，取该质点为隔离体（图12-1-2（b））。
第一，减去初拉力的弹簧拉力
FE＝－k11y
式中：负号表示其实际方向与位移y的方向相反，亦即永远指向静力平衡位置。
此力有将质点m拉回到静力平衡位置的趋势，故又称为恢复力。
第二，惯性力
FI＝－m?
式中，负号表示惯性力的方向总是与加速度

的方向相反。
对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，与质点的重量mg相平衡而抵消，故在振动过程中这两个力都无须考虑。
第三，质点在惯性力FI与弹簧的恢复力FE作用下将维持动力平衡，故应有
FI＋FE＝0
将FI和FE的算式代入即得

令

则有

②柔度法
a．定义
柔度法是指通过列位移方程来建立振动微分方程的方法。
b．具体步骤
第一，当质点m振动时，把惯性力FI＝－m?看作是一个静力荷载作用在体系的质点上，则在其作用下结构在质点处的位移y应等于（图12-1-2（c））
y＝FIδ11＝－m?δ11
第二，微分方程为

（3）单自由度结构在自由振动时的微分方程
①微分方程

②振动方程

式中，y0为初位移；

为初速度。
上式可简化为
y＝a sin（ωt＋φ）
式中

a为振幅，表示质点的最大位移；φ为初相角。
③振动周期

常用单位为s。
④自振频率
结构的自振频率是指2π秒内完成的振动次数，通常用ω表示，其单位为rad／s。

式中，g为重力加速度，Δst为由于重量mg所产生的静力位移。
相关结论
a．结构的自振频率只取决于它自身的质量和刚度，它反映着结构固有的动力特性。外部干扰力只能影响振幅和初相角的大小而不能改变结构的自振频率；
b．ω随Δst的增大而减小，若把质点安放在结构上产生最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。
3．考虑阻尼作用时的自由振动
（1）阻尼力的分类
①外部介质的阻力，例如空气和液体的阻力、支承的摩擦等；
②物体内部的作用，例如材料分子之间的摩擦和黏着性等。
（2）阻尼力的表达式
引用福格第假定，近似认为振动中物体所受的阻尼力与其振动速度成正比，这称为黏滞阻尼力，即

式中，c为阻力系数；负号表示阻尼力FD的方向恒与速度

的方向相反。
（3）有阻尼作用的自由振动的微分方程
①当考虑阻尼力时，质点m上所受的力将如图12-1-3所示，考虑其动力平衡，应有
F1＋FD＋FE＝0
即



图12-1-3
令

，

②微分方程为


（12-1）
（4）微分方程的解
①微分方程解的形式
y＝Cert
代入原微分方程（12-1），可得确定r的特征方程r2＋2Δr＋ω2＝0其两个根为

②当δ＜ω时，即欠阻尼情况
a．微分方程的解

式中，

为有阻尼自振频率，其表达式如下


（12-2）
上式也可写为
y＝Ae－Δtsin（ω't＋φ'）　 （12-3）
其中

b．振动曲线
式（12-3）的位移——时间曲线如图12-1-4所示。

图12-1-4
c．阻尼比

d．有阻尼自振频率表达式

可见ω'随阻尼的增大而减小。
③当δ＞ω时，即过阻尼情况
此时特征根r1、r2为两个负实数，式（12-1）的通解为

这是非周期函数，因此不会产生振动，结构受初始干扰偏离平衡位置后将缓慢地回复到原有位置。
④当δ＝ω时，即临界阻尼情况
a．微分方程的通解
此时特征根是一对重根，r1，2＝－δ，式（12-1）的通解为
y＝e－δt（C1＋C2t）
这也是非周期函数，故也不发生振动。这是由振动过渡到非振动状态之间的临界情况，此时阻尼比ξ＝1。
b．临界阻力系数
此时的c值称为临界阻力系数，用ccr表示。
在式

中令δ＝ω可得
ccr＝2mω
又因为

，可以得到

表明阻尼比ξ即为阻力系数c与临界阻力系数ccr之比。
四、单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动
1．单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动
（1）微分方程
若干扰力F（t）直接作用在质点m上，则质点受力将如图12-1-5所示。

图12-1-5
由动力平衡条件得
FI＋FD＋FE＋F（t）＝0
即

或

（2）微分方程的解
①解的组成部分
a．一部分为相应齐次方程的通解y0
y0＝e－ξωt（B1cosω't＋B2sinω't）　
b．另一部分则是与干扰力F（t）相适应的特解y(__)
它将随干扰力的不同而异。
②求解过程
a．令
F（t）＝Fsinθt
式中，θ为干扰力的频率；F为干扰力的最大值。
此时振动微分方程式为

b．设振动微分方程有一个特解为
y(__)＝C1sin θt＋C2cosθt
代入振动微分方程，可以解出

c．则振动微分方程通解为

d．式中B1和B2取决于初始条件
设当t＝0时，y＝y0，

，可求得

则

（12-4）
（3）振动系组成
①自由振动
自由振动是由初始条件决定的。
②伴生自由振动
伴生自由振动是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率ω'一致。
③纯受迫振动
由于这两部分振动都含有因子e－ξωt故它们将随时间的推移而很快衰减掉，最后只剩下按干扰力频率θ而振动的第三部分，称为纯受迫振动或稳态受迫振动（图12-1-6）。

图12-1-6
（4）过渡阶段与平稳阶段
①过渡阶段
过渡阶段是指振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段。
②平稳阶段
平稳阶段是指剩下纯受迫振动的阶段。
2．不考虑阻尼的纯受迫振动
（1）振动方程
此时因ξ＝0，由式（12-4）的第三项可知纯受迫振动方程成为

（2）振幅
最大的动力位移（即振幅）为

又因为

代入上式，得

式中，yst＝Fδ11为振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上时所引起的静力位移；μ为最大的动力位移与静力位移之比值，称为位移动力因数，其计算表达如下

a．当θ＜ω时，μ为正，动力位移与动力荷载同向；
b．当θ＞ω时，μ为负，动力位移与动力荷载反向。
（3）无阻尼的纯强迫振动系统特点
①当干扰力的频率θ接近于结构的自振频率ω时，动力因数就迅速增大；
②当二者无限接近时，理论上μ将成为无穷大，此时内力和位移都将无限增加；
③当θ＝ω时，结构发生共振。
3．考虑阻尼的纯受迫振动
（1）振动方程
取式（12-4）的第三项，并令

则将有
y＝Asin（θt－φ）
式中，A为有阻尼的纯受追振动的振幅；φ为位移与荷载之间的相位差。

（2）动力因数
振幅A可写为

则动力因数为

（3）动力因素和相位差比值大小的影响
动力因数μ与θ和ω的比值以及阻尼比ξ的关系曲线如图12-1-7所示。相位差φ与θ和ω的比值以及阻尼比ξ的关系曲线如图12-1-8所示。

图12-1-7

图12-1-8
①当θ远小于ω时

很小，μ接近于1，相位差φ也很小。振动很慢，惯性力和阻尼力都很小。动力荷载主要由结构的恢复力所平衡。
②当θ远大于ω时
μ很小，质点近似于不动或只作振幅很微小的颤动。振动很快，惯性力很大，结构的恢复力和阻尼力相对可以忽略，动力荷载主要由惯性力来平衡。此时相位差φ≈180°。
③当θ接近于ω时
μ增加很快。此时φ≈90°，恢复力和惯性力都很小，动力荷载主要由阻尼力平衡。μ值受阻尼大小的影响。由图12-1-7可见，在该范围内，阻尼影响将大大地减小受迫振动的位移。
④当θ→ω时
由于阻尼力的存在，μ值虽不等于无穷大，但其值还是很大的，特别是当阻尼作用较小时，共振现象仍是很危险的，可能导致结构的破坏。
五、单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动
1．瞬时冲量作用于质点m
（1）瞬时冲量
瞬时冲量是指荷载只在极短的时间内给予振动物体的冲量。
如图12-1-9（a）所示，设荷载的大小为F，作用的时间为Δt，则其冲量以I＝FΔt，即图中阴影线所表示的面积。

图12-1-9
（2）瞬时冲量作用下质点的位移方程
①在t＝0时，冲量I作用于单自由度质点
设质点的原位移和原速度均为零，在t＝0时，有冲量I作用于单自由度质点上，使质点获得初速度

，但初位移仍未零，即y0＝0和

。
瞬时冲量作用下质点m的位移方程为

②在t＝τ时，冲量I作用于单自由度质点
瞬时冲量在t＝τ时加于质点上，则其位移方程应为

2．单自由度结构在任意动力载荷作用下的质点位移公式
（1）质点初速度和初位移均为零
①考虑阻尼
对于图12-1-9（b）所示一般形式的干扰力F（t），可以认为它是一系列微小冲量F（τ）dτ连续作用的结果，因此应有


（12-5）
②不考虑阻尼
若不考虑阻尼，则有ξ＝0，ω'＝ω，于是
　

　 （12-6）
式（12-5）及式（12-6）又称杜哈梅积分。
（2）质点初速度和初位移不为零
①考虑阻尼
若在t＝0时，质点原来还具有初始位移y0和初始速度

，则质点位移应为

②不考虑阻尼
如不考虑阻尼则有

3．两种特殊载荷作用下的质点位移公式
（1）突加荷载作用质点
在t＝0时，大小为F的力作用质点，并保持常量继续作用，以加载那一瞬间作为时间的起点，其变化规律如图12-1-10（a）所示。
①考虑阻尼
a．质点位移公式
将F（τ）＝F代入式（12-5）进行积分求得



图12-1-10
b．最大动力位移
将此式对t求一阶导数，并令其等于零。即可求得产生位移极值的各时刻。当

时，最大动力位移yd为

c．动力因数

②不考虑阻尼
若不考虑阻尼影响，则ξ＝0，ω'＝ω。
a．质点位移公式

其图形如图12-1-10（b）所示。
b．最大动位移
yd＝2yst
即在突加荷载作用下，最大动力位移为静力位移的2倍。
（2）短期荷载作用质点
在t＝0时，荷载突然加于结构上，但到t＝t0时，荷载又突然消失，如图12-1-11所示。且不考虑阻尼影响。


图12-1-11
①质点位移公式
对于这种情况可作如下分析：当t＝0时有上面所述的突加荷载加入，并一直作用于结构上；到t＝t0时，又有一个大小相等但方向相反的突加荷载加入，以抵消原有荷载的作用。可利用上述突加荷载作用下的计算公式按叠加法来求解。
a．当0＜t＜t0时，则
y＝yst（1－cosωt）
b．当t＞t0时，则



前一阶段（0＜t＜t0）与前述突加荷载作用下的情况相同；后一阶段（t＞t0）则为自由振动。
②质点最大位移
a．

时
最大位移发生在后一阶段。当

时有最大位移，其值为

相应的动力因数为

b．当


时
最大位移将发生在前一阶段，yd＝2yst，相应的动力因数μ＝2。
六、多自由度结构的自由振动
1．振动微分方程的建立
图12-1-12（a）所示无重量简支梁支承着n个集中质量m1，m2，…，mn，略去梁的轴向变形和质点的转动，则为n个自由度的结构。设在振动中任一时刻各质点的位移分别为y1，y2，…，yn。
（1）按刚度法建立振动微分方程
①处理方法
a．首先加入附加链杆阻止所有质点的位移（图12-1-12（b）），则在各质点的惯性力

（i＝1，2，…，n）作用下，各链杆的反力等于

；
b．其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移（图12-1-12（c）），此时各链杆上所需施加的力为FRi（i＝1，2，…，n）。
②质点的动力平衡方程
若不考虑各质点所受的阻尼力，各附加链杆上的总反力应等于零，由此便可列出各质点的动力平衡方程。以质点mi为例，有



图12-1-12
③求FRi
FRi的大小取决于结构的刚度和各质点的位移值，由叠加原理，它可写为
FRi＝ki1y1＋ki2y2＋…＋kiiyi＋…＋kijyj＋…＋kinyn
式中，kii、kij等为结构的刚度系数，它们物理意义见图12-1-12（d）、（e）。例如kij为J点发生单位位移（其余各点位移均为零）时i点处附加链杆的反力。
则

④多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程
对每个质点都列出这样一个动力平衡方程，于是可建立n个方程如下

写成矩阵形式为

或简写为


（12-7）
式中，M为质量矩阵，在集中质量的结构中它是对角矩阵；K为刚度矩阵，根据反力互等定理，它是对称矩阵；

为加速度列向量；Y为位移列向量。
（2）按柔度法建立振动微分方程
如果按柔度法来建立振动微分方程，则可将各质点的惯性力看作是静力荷载（图12-1-13（a）），在这些荷载作用下，结构上任一质点mi处的位移应为



图12-1-13
式中，δii、δij等为结构的柔度系数，它们的物理意义见图12-1-13（b）、（c）所示。
建立n个位移方程

　 （12-8）
写成矩阵形式，就有

或简写为
　

　 （12-9）
式中，δ为结构的柔度矩阵，根据位移互等定理，它是对称矩阵。
（3）刚度矩阵与柔度矩阵的关系
若对式（12-9）左乘以δ-1，则有

与式（12-7）对比，显然应有
δ－1＝K
即柔度矩阵和刚度矩阵是互为逆阵的。
2．按柔度法求解
（1）特解形式
设按柔度法建立的振动微分方程的特解取如下形式
yi＝Aisin（ωt＋φ）（i＝1，2，…，n）
设所有质点都按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同。
（2）求自振频率ω
①求解过程
a．将特解代入式（12-8）并消去公因子sin（ωt＋φ）可得


　 （12-10）
写成矩阵形式则为


　 （12-11）
式中，A＝（A1A2…An）T为振幅列向量；I为单位矩阵。
b．要得到A1，A2，…，An不全为零的解答，则必须是该方程组的系数行列式等于零，即


（12-12）
或写为
　

（12-13）
c．将行列式展开，可解出n个自振频率ω1，ω2，…，ωn。
②相关概念
a．振幅方程
振幅方程是指为振幅A1，A2，…，An的齐次方程，如式（12-10）。
b．频率方程
频率方程是指确定ω数值的方程，如式（12-12）或式（12-13）。
c．结构的自振频谱
n个自振频率ω1，ω2，…，ωn的数值由小到大依次排列，则分别称为第一，第二，…，第n自振频率，并总称为结构自振的频谱。
（3）求主振型
①求解过程
a．设n个自振频率中的任一个频率为ωk，其得特解为
yi（k）＝Ai（k）sin（ωkt＋φk）（i＝1，2，…，n）
此时各质点按同一频率ωk作同步简谐振动，各质点的位移相互间的比值
y1（k）：y2（k）：…：yn（k）＝A1（k）：A2（k）：…：An（k）
由上式可知，比值不随时间而变化，在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。
b．要确定振型便须确定各质点振幅间的比值。可将ωk值代回振幅方程（12-10）而得
　

（12-14）
或写为

式中，

。
由于此时式（12-14）的系数行列式为零，故其n个方程中只有（n－1）个是独立的，因而只能确定各质点振幅间的相对比值，这便确定了振型。
②相关概念
a．主振动
主振动是指多自由度结构按任一自振频率ωk进行的简谐振动。
b．主振型
主振型是指主振动的特定振动形式，简称振型。
c．主振型向量
ωk相应的主振型向量为

（4）振动微分方程的一般解
一个结构有n个自由度，便有n个自振频率，相应地便有n个主振动和主振型，它们都是振动微分方程的特解。这些主振动的线性组合，就构成振动微分方程的一般解

各主振动分量的振幅Ai（k）及初相角φk将取决于初始条件。自振频率和振型只取决于结构的质量分布和柔度系数（或刚度系数）。
（5）两自由度的结构振动微分方程的解
①求自振频率ω
具有两个自由度的结构的振幅方程（g）为

　（g）
频率方程为

将其展开并令

，解得

从而可得两个自振频率为

②求主振型
a．求第一振型
将ω＝ω1代入式（g），求得A1（1）与A2（1）的比值

b．同理可求得第二振型为

3．按刚度法求解
（1）求自振频率ω
利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，将前述求频率和振型的公式加以变换即可。用δ－1左乘式（12-11）有

即
　 （K－ω2M）A＝0 （12-15）
这便是按刚度法求解的振幅方程。
因A不能全为零，故可得频率方程为
|K－ω2M|＝0
将其展开，可解出n个自振频率ω1，ω2，…，ωn。
（2）求主振型
将自振频率逐一代回振幅方程（12-15）得


　 （12-16）
便可确定相应的n个主振型。
（3）两自由度的结构
①求自振频率ω
频率方程为

由此解得ω2的两个根为

分别再开平方便可求得ω1和ω2。
②求主振型

4．主振型的正交性
（1）主振型之间的两个正交关系
①第一个正交关系
对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的
（A（j））MA（i）＝0
②第二个正交关系
对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型也是彼此正交的
（A（j））TKA（i）＝0
主振型的正交性也是结构本身固有的特性，它不仅可以用来简化结构的动力计算，而且可用以检验所求得的主振型是否正确。
（2）主振型之间的正交性物理意义
①主振型之间的第一个正交关系的含义就是第i阶振型的惯性力在经历第j阶振型位移时所作的功等于零；
②主振型之间的第二个正交关系的含义则是与第i阶振型位移有关的等效静力在经历第j阶振型位移时所作的功等于零。
（3）正交性的推导
①每一频率及其相应的主振型均满足式（12-16），即

②在式（12-16）中，分别取k＝i和k＝j，可得


　 （12-17）
　

（12-18）
③对式（12-17）两边左乘以A（j）的转置矩阵（A（j））T，对式（12-18）两边左乘（A（i））T，则有
　

（12-19）


　 （12-20）
④由于K和M均为对称矩阵，故KT＝K，MT＝M。将式（12-20）两边转置，将有

⑤再将式（12-19）减去式（12-21）得
（ωi2－ωi2）（A（j））TMA（i）＝0
当i≠j时，ωi≠ωj，于是应有
（A（j））MA（i）＝0
将这一关系代入式（12-19），立即可知
（A（j））TKA（i）＝0
七、多自由度结构在筒谐荷载作用下的的受迫振动
1．按柔度法求解
图12-1-14（a）所示无重量简支梁上有n个集中质点，并承受k个简谐周期荷载F1sinθt，F2sinθt，…，Fksinθt的作用。

图12-1-14
（1）按柔度法来建立振动微分方程
①任一质点mi的位移yi为
yi＝δi1Fi1＋δi2Fi2＋…＋δinFin＋yiP
式中：

，

为各动力荷载同时达到最大值时在质点mi处所引起的静力位移。
②n个质点可建立n个这样的位移方程，并注意到Fii＝－miy(··)i，故可写为


（12-22）
写成矩阵形式

式中，ΔP＝（Δ1P，Δ2P…ΔnP）T，为荷载幅值引起的静力位移列向量。
（2）纯受迫振动的解
①设在平稳阶段各质点均按干扰力的频率θ作同步简谐振动，取纯受迫振动的解为
yi＝yi0sinθt（i＝1，2，…，n）　 （12-23）
式中，yi0为质点mi的振幅。
②将上式代入式（12-22）并注意到?i＝－yi0θ2sinθt，可得
　

（12-24）
或写为

式中，I为单位矩阵；Y0为振幅向量。
③解方程组可求出各质点在纯受迫振动中的振幅y10，y20，…，yn0，并将振幅再代入式（12-23）即得各质点的振动方程。
（3）求惯性力幅值
①各质点的惯性力为

式中，Fii0＝miθ2yi0为惯性力的最大值。
②位移、惯性力及干扰力将同时达到最大值。在计算最大动力位移和内力时，可将惯性力和干扰力的最大值当作静力荷载加于结构上（图12-1-14（b））进行计算。
利用Fii0＝miθ2yi0的关系，将式（12-24）改写成

或写为

式中，FI0为最大惯性力向量。
这样便可直接解得各惯性力幅值。
（4）共振现象
当θ＝ωk（k＝1，2，…，n），即干扰力的频率与任一个自振频率相等时，系统发生共振，此时的振幅、惯性力及内力值均为无限大。实际上由于存在阻尼，振幅等量值不会为无限大，但这对结构仍是很危险的，应避免。
2．按刚度法求解
（1）振动微分方程
图12-1-15所示n个自由度的结构，当各干扰力均作用在质点处时，其动力平衡方程如下

图12-1-15

写成矩阵形式则为


　 （12-25）
设各干扰力均为同步简谐荷载。即
F（t）＝Fsin θt
式中，F＝（F1 F2… Fn）T为荷载幅值向量。
（2）微分方程求解
在平稳阶段各质点亦均按频率θ作同步简谐振动
Y＝Y0sinθ  （12-26）
代入式（12-25）并消去sinθt得
　 （K－θ2M）Y0＝F　 （12-27）
由上式便可解算各质点的振幅值。代入式（12-26）即得各质点的位移方程。
（3）求惯性力幅值
a．各质点的惯性力为

式中，F1为惯性力向量；FI0＝θ2MY0为惯性力幅值向量。
b．利用FI0＝θ2MY0可将式（12-27）改写为
（KM－1－θ2I）FI0＝θ2F
式中，I为单位矩阵。
由上式即可直接求解惯性力幅值。
八、振型分解法
1．振型分解法的优点
多自由度结构的无阻尼受迫振动微分方程，按刚度法有

质量矩阵M是对角矩阵，但刚度矩阵K一般不是对角矩阵，因此方程组是耦联的。当荷载F（t）不是按简谐规律变化而是任意动力荷载时，求解联立微分方程组是很困难的。振型分解法解除了方程组的耦联，亦即使其变为一个独立方程，可使计算大为简化。
2．振型分解法的步骤
（1）求自振频率ωi和振型Ф（i）（i＝1，2，…，n）
（2）计算广义质量和广义荷载

（3）求解正则坐标的振动微分方程为

与单自由度问题一样求解，得到α1，α2，…，αn。
（4）计算几何坐标
由Y＝Фα求出各质点位移y1，y2，…，yn，然后即可计算其他动力（加速度、惯性力和动内力等）。

九、多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动
1．振动微分方程的建立
图12-1-16所示结构具有n个自由度，各质点受任意荷载Fi（t）和黏滞阻尼力FDi作用，现建立其振动微分方程。

图12-1-16
其动力平衡方程如下

将此式写成矩阵形式则为



或简写为

式中，cij为质点j处的运动速度引起质点i处的阻力系数；Fi（t）为作用在质点i处的任意荷载；Y为速度列向量；F（t）为任意荷载列向量，它们均是n×1阶列矩阵；c为阻尼矩阵，是n×n阶方阵。
2．振动微分方程组的解耦
振动微分方程组引入正则坐标和主振型矩阵，并全式左乘主振型矩阵的转置矩阵，得
　

（12-28）
引用瑞利（Rayleigh）阻尼假设
c＝aM＋bK
式中，a，b为两个待定常数。
将式上式各项左乘ФT并右乘Ф，得到
ФTcФ＝aФTMФ＋bФTKФ
由于ФTMФ和ФTKФ均为对角矩阵，则ФTcФ也是对角矩阵，这就完成了振动微分方程组的完全解耦。
3．待定常数a，b的确定
在完成了振动微分方程组的解耦之后，式（12-28）可分解为n个独立方程

其中
c(__)i＝2ξiωiM(____)I
称为广义阻力系数。
则
c(__)i＝aM(____)i＋bK(___)i＝2ξiωiM(____)i
或

由于K(___)i＝ωi2M(____)i，可得
　

（12-29）
通常把第一和第二振型的阻尼比ξ1和ξ2，以及相应的频率ω1和ω2分别代入式（12-29），即可联立求解得到

在求得a，b之后，即可利用式（12-29）计算其余振型的阻尼比。
4．求解步骤
（1）求自振频率ωi和振型Ф（i）（i＝1，2， … ，n）
（2）计算广义质量和广义荷载

（3）根据自振频率中的ω1和ω2以及已知的两个振型的阻尼比ξ1和ξ2，求出常数a，b之后，再计算其余振型的阻尼比ξi（i＝3，4，…，n）。
（4）求解正则坐标表示的振动微分方程

与单自由度问题一样求解，得到α1，α2，…，αn。
（5）计算几何坐标
Y＝Фα
求出各质点位移y1，y2，…，yn，然后即可计算其他动力（加速度、惯性力和动内力等）。
十、地震作用计算
1．地震作用的基本概念
（1）定义
地震作用是指由地震动引起的结构动态作用。
（2）分类
①水平地震作用；
②竖向地震作用。
（3）地震作用的实质
地震引起的地面运动在结构中产生的惯性力，也称地震荷载。
2．单自由度结构的地震作用计算
图12-1-17（a）表示单自由度结构在地震时的位移和变形示意，其中yg（t）是地震引起的地面位移；y（t）则是质点相对于地面的位移反应。
（1）振动微分方程
现取质量为m的质点为隔离体，如图12-1-17（b）所示，其动力平衡方程为

图12-1-17
FI＋FD＋FE＝0
其中惯性力

将平衡方程展开可得

或

（2）位移方程
在初始位移和初始速度均为零时，可应用杜哈梅积分求得其地震作用的位移反应为

即

式中，

为有阻尼自振频率。
（3）地震作用的最大值
①经相关推导结构上受到的地震作用为

②地震作用的最大值为

令

则

式中，amax为质点运动绝对加速度最大值；W为质点重量；而

为地震影响系数。
（4）地震影响系数
地震影响系数表示单自由度结构在地震时以重力加速度g为单位的最大反应加速度，是现行建筑抗震设计规范中的重要设计参数。其表达式为

3．多自由度结构的地震作用计算
（1）振动微分方程
多自由度结构受地震地面运动yg（t）引起的地震荷载

时的振动微分方程（刚度法）为

（2）位移方程
用振型分解法求解，将上式写成以正则坐标α和振型矩阵Ф表达的形式

用ФT左乘上式各项，由振型矩阵的正交性可得

式中，Ф（i）为第i振型的振型向量。
令

式中，γi为i振型参与系数，对每一振型均为常数；Фj（i）则表示第i振型中第j自由度的量值。
则

此即对应于第i振型的单自由度振动微分方程。
根据杜哈梅积分，可得其零初始条件下的正则坐标解答为

式中，

为第i振型广义位移。
位移反应yi（t）为

矩阵表示为
y（t）＝Ф（γδ）
（3）地震作用的最大值
①质点i的地震作用

化简为

式中，

为第j振型广义加速度反应函数。
②又因为

第j振型对应第i自由度的地震作用函数
Fij（t）＝WiγjФi（j）αj（t）
第j振型的地震最大作用则为
（Fij）max＝WiγjФi（j）αj（T）
式中，αj（T）为第j振型地震影响系数的最大值；Wi为i质点重量。
（4）影响系数

十一、无限自由度结构的振动
图12-1-18（a）所示具有均布质量的单跨梁，其自由度将为无限大。

图12-1-18
1．梁的自由振动
（1）微分方程

（2）通解
y（x，t）＝F（x）·T（t）＝aF（x）sin（ωt＋φ）＝yxsin（ωt＋φ）
振幅曲线为
yx＝Acoshkx＋Bsinhkx＋Ccoskx＋Dsinkx　 （12-30）
式中，A、B、C、D为待定的任意常数；

。
（3）引入边界条件后的解
①引入初始条件
为便于计算，今引入新的常量

代入式（12-30），有
yx＝C1Akx＋C2Bkx＋C3Ckx＋C4Dkx
其中

称为克雷洛夫函数。
梁的挠度yx、角位移yx'、弯矩Mx和剪力FSx的公式如下

引入初始条件，当x＝0时

求得常数为

把这些常量代入得

②求频率ω
根据梁的边界条件，通常可确定有两个初参数等于零和写出包含另两个初参数的两个齐次方程。为了求得非零解，应使该两方程的系数行列式等于零，从而求得k值和频率ω。
③求yx的表达式和主振型曲线
a．将k值代回上述两齐次方程的任何一式，再代入yx的表达式即得到相应的主振型曲线。
b．无限自由度结构结构有无穷多个自振频率和振型。但在实用中一般只需求出其最低的几个频率。
（4）全解
对于每一个频率ωi和振型yx（i），方程都有一个特解，其全解则为各特解的线性组合，即

2．简谐均布干扰力作用下的受迫振动
（1）微分方程

（2）特解形式
y＝F（x）sinθt
（3）基本方程

式中，

。
因干扰力的频率θ是已知的，所以k值也是已知的。
十二、计算频率的近似法
1．能量法
（1）振动结构的两种能量
①由于具有质量和速度而构成的动能；
②由于结构变形而存储的应变能。
（2）能量守恒原理
根据能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动中的任何时刻，其动能T和应变能Vε之和应等于常量，即
T（t）＋Vε（t）＝常量
可以简单证明得到
Vεmax＝Tmax
（3）能量法求ω
以梁为例，假定其振动方程为
y（x，t）＝y（x）sin（ωt＋φ）
①最大动能
其动能为

当cos（ωt＋φ）＝1时有

②最大应变能
结构的应变能为

当sin（ωt＋φ）＝1时有

③求ω
由Tmax＝Vεmax得

如果结构上除分布质量m（x）外，还有集中质量mi（i＝1，2，…，n），则上式应改为

振幅曲线y（x）与第一振型吻合，则可求得第一频率的精确值；若恰好与第二振型吻合，则可求得第二频率的精确值。
但曲线y（x）往往是近似的，故求得的频率为近似值。这种方法适宜于计算第一频率。一般用结构的自重作用下的弹性曲线来作为y（x），于是

如果是求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用。
2．集中质量法
（1）方法
把结构的分布质量在一些适当的位置集中起来而化为若干集中质量，把无限自由度结构简化为有限自由度结构。
（2）集中质量位置的选择
①在选择集中质量的位置时，须注意结构的振动形式，而将质量集中在振幅较大的地方，才能使所得的频率值较为正确。
②在计算双铰拱的最低频率时，则由于其相应的振动形式是反对称的，拱顶竖向位移为零，故不宜将质量集中在该处，而应集中在拱跨的两个1／4点处，因为这些地方的振幅较大（图12-1-19（a））。
③如图12-1-19（b）所示刚架，当它作对称振动时，各结点无线位移，这时应将质量集中于杆件的中点；而在反对称振动时，如图12-1-19（c）所示，应将质量集中在结点上。

图12-1-19
3．用相当梁法计算桁架的最低频率
（1）方法
用一个在某一特征点处位移与桁架位移相等的梁，称为相当梁，来代替原有桁架，用相当梁的自振频率近似代替原桁架的频率。特征点可选在跨度中点或有较大集中荷载作用的结点。
（2）求ω
①当桁架变形时，任一结点k的竖向位移ΔkP

相当梁上同一点k的竖向位移vkP将是其惯性矩I的函数，故可写成

使二者相等即可算出相当梁的惯性矩I。
②对于简支桁架，设其自重为q，则在具有相同重量的相当梁中点的竖向位移为

令vkP＝ΔkP则求出相当梁惯性矩

可按简支梁的频率公式求其最低频率




下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/128362.html