同济大学数学系《高等数学》（第7版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第八章　向量代数与空间解析几何
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　　习题8-1　向量及其线性运算
　　习题8-2　数量积　向量积　混合积
　　习题8-3　平面及其方程
　　习题8-4　空间直线及其方程
　　习题8-5　曲面及其方程
　　习题8-6　空间曲线及其方程
　　总习题八
　8.3　考研真题详解
第九章　多元函数微分法及其应用
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　　习题9-1　多元函数的基本概念
　　习题9-2　偏导数
　　习题9-3　全微分
　　习题9-4　多元复合函数的求导法则
　　习题9-5　隐函数的求导公式
　　习题9-6　多元函数微分学的几何应用
　　习题9-7　方向导数与梯度
　　习题9-8　多元函数的极值及其求法
　　习题9-9　二元函数的泰勒公式
　　习题9-10　最小二乘法
　　总习题九
　9.3　考研真题详解
第十章　重积分
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　　习题10-1　二重积分的概念与性质
　　习题10-2　二重积分的计算法
　　习题10-3　三重积分
　　习题10-4　重积分的应用
　　习题10-5　含参变量的积分
　　总习题十
　10.3　考研真题详解
第十一章　曲线积分与曲面积分
　11.1　复习笔记
　11.2　课后习题详解
　　习题11-1　对弧长的曲线积分
　　习题11-2　对坐标的曲线积分
　　习题11-3　格林公式及其应用
　　习题11-4　对面积的曲面积分
　　习题11-5　对坐标的曲面积分
　　习题11-6　高斯公式　通量与散度
　　习题11-7　斯托克斯公式　环流量与旋度
　　总习题十一
　11.3　考研真题详解
第十二章　无穷级数
　12.1　复习笔记
　12.2　课后习题详解
　　习题12-1　常数项级数的概念和性质
　　习题12-2　常数项级数的审敛法
　　习题12-3　幂级数
　　习题12-4　函数展开成幂级数
　　习题12-5　函数的幂级数展开式的应用
　　习题12-6　函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
　　习题12-7　傅里叶级数
　　习题12-8　一般周期函数的傅里叶级数
　　总习题十二
　12.3　考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


本书是同济大学数学系《高等数学》（第7版）（下册））的配套电子书，主要包括以下内容：
（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对同济大学数学系《高等数学》（第7版）（下册）的课后习题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精编考研真题，培养解题思路。本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。所选考研真题涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
（4）免费更新内容，获取最新信息。本书定期会进行修订完善，补充最新的考研真题和答案。对于最新补充的考研真题和答案，均可以免费升级获得。
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内容预览
第八章　向量代数与空间解析几何
8.1　复习笔记
一、向量及其线性运算
1．向量的概念
（1）向量的定义
既有大小，又有方向的这一类量称为向量（或矢量）．
（2）向量的表示
①用有向线段表示向量；
②用黑体字母来表示向量．
（3）自由向量
只考虑向量的大小和方向，不考虑起点的向量称为自由向量．
（4）相等向量
大小相等且方向相同的向量．
（5）向量的模
向量的大小称为向量的模．
（6）单位向量
模等于1的向量称为单位向量．
（7）零向量
模等于零的向量称为零向量，记作0或

．
（8）向量a与b的夹角
设两个非零向量a，b，任取空间一点O，作

．规定不超过π的∠AOB（设

）
称为向量a与b的夹角（图8-1-1）．记作

或

，即

．
注：如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到π之间任意取值．

图8-1-1
（9）向量平行
如果

或π，称向量a与b平行，记作

．
（10）向量垂直
如果

，称向量a与b垂直，记作a⊥b．
（11）向量共线
两向量平行，又称两向量共线．
（12）向量共面
设有k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，称这k个向量共面．
2．向量的线性运算
（1）向量的加法
①定义
设有两个向量a与b，任取一点A，作

，再以B为起点，作

，连接AC（图8-1-2），则
向量

称为向量a与b的和，记作a＋b，即c＝a＋b．

图8-1-2
②运算规律
a．交换律a＋b＝b＋a；
b．结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．
（2）向量的减法（差）
①负向量
a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量称为a的负向量，记作－a．
②向量的差
向量b与a的差

，即把向量－a加到向量b上，便得b与a的差b－a．
③向量加法和减法的不等式



（3）向量与数的乘法
①定义
向量a与实数λ的乘积记作λa．
②乘积的模
模

．
③乘积的运算规律
a．结合律

b．分配律

（4）两向量平行的充要条件
向量

，则b∥a?存在惟一的实数λ，使b＝λa．
3．空间直角坐标系
（1）坐标分解式
如图8-1-3所示，

，则

设

则

上式称为向量r的坐标分解式，xi、yj和zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量．
（2）向径
向量

称为点M关于原点O的向径．

图8-1-3
4．利用坐标作向量的线性运算
设

，λ为实数，则



注：当向量

时，向量

相当于

，坐标表示式为

即

5．向量的模、方向角、投影
（1）向量的模
向量r＝（x，y，z），则模

（2）两点距离公式
设点

和点

，则A、B两点间的距离

（3）方向角
非零向量r与三条坐标轴的夹角α，β，γ称为向量r的方向角．
（4）方向余弦



称为向量r的方向余弦，且

．
二、数量积 向量积 混合积
1．两向量的数量积
（1）定义
向量a与b的数量积等于|a|、|b|及它们的夹角θ的余弦的乘积，记作a·b，即

（2）性质
①

；
②a·b＝0?a⊥b（a、b都为非零向量）．
（3）运算规律
①交换律a·b＝b·a；
②分配律（a＋b）·c＝a·c＋b·c；
③结合律

．
（4）两向量夹角余弦的坐标表示式

2．两向量的向量积
（1）定义

，则称向量c为向量a与b的向量积，记作a×b，即c＝a×b，其中θ为a、b间的夹角．
（2）方向
如图8-1-4所示，c的方向垂直于a与b所决定的平面．

图8-1-4
（3）性质
a．a×a＝0；
b．a×b＝0?a∥b（a、b都为非零向量）．
（4）运算规律
a．b×a＝－a×b；
b．分配律 （a＋b）×c＝a×c＋b×c；
c．结合律 （λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）（λ为数）．
（5）向量积的坐标表示式

，则

即

3．向量的混合积
（1）定义
三个向量a、b和c．先作两向量a和b的向量积a×b，把所得到的向量与第三个向量c再作数量积（a×b）·c，这样得到的数量称为三向量a、b、c的混合积，记作[abc]．
（2）坐标表示式
设

，则

（3）几何意义
向量的混合积[abc]＝（a×b）·c的绝对值是以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积．
（4）夹角
设a×b＝f，f与c的夹角为α，则

①当a、b、c组成右手系时，α为锐角，[abc]为正；
②当a、b、c组成左手系时，α为钝角，[abc]为负．
（5）a、b、c共面?混合积[abc]＝0，即

三、平面及其方程
1．平面的点法式方程
（1）法线向量
如果一非零向量垂直于一平面，则称这向量为该平面的法线向量．
（2）平面的点法式方程
设平面上一点

（

）和它的一个法线向量n＝（A，B，C），其平面方程表达式为

此表达式又称平面的点法式方程.
2．平面的—般方程
方程Ax＋By＋Cz＋D＝0称为平面的一般方程，其中x，y，z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即n＝（A，B，C）.
（1）当D＝0时，平面的一般方程成为Ax＋By＋Cz＝0，它表示一个通过原点的平面；
（2）当A＝0时，平面的一般方程成为By＋Cz＋D＝0，法线向量n＝（0，B，C）垂直于x轴，方程表示一个平行于（或包含）x轴的平面；同理，方程Ax＋Cz＋D＝0和Ax＋By＋D＝0分别表示平行于（或包含）y轴和z轴的平面；
（3）当A＝B＝0时，平面的一般方程成为Cz＋D＝0或z＝－

，法线向量n＝（0，0，C）同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于（或重合于）xOy面的平面．同理，方程Ax＋D＝0和By＋D＝0分别表示一个平行于（或重合于）yOz面和xOz面的平面．
3．两平面的夹角
（1）定义
两平面的法线向量的夹角（锐角或直角）称为两平面的夹角．
（2）计算公式
设平面

的法线向量依次为

和

，则平面

的夹角

应是

或

两者中的锐角,因此

，则

（3）结论
①

互相垂直?

；
②

互相平行或重合?

．
四、空间直线及其方程
1．空间直线的—般方程
空间直线L可以看做是两个平面

的交线

的方程：A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0

的方程：A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0
直线L上的任—点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即

则称该方程组为空间直线的—般方程．
2．空间直线的对称式方程与参数方程
（1）方向向量
如果—个非零向量平行于—条已知直线，则称该向量为这条直线的方向向量．
（2）直线的对称式方程
如果直线L上一点

和它的一方向向量s＝（m，n，p），则直线Ｌ的对称式方程（或点向式方程）为

（3）直线的参数方程
令直线的对称式方程

则称方程

为直线的参数方程．
3．两直线的夹角
（1）定义
两直线的方向向量的夹角（锐角或直角）称为两直线的夹角．
（2）计算公式
直线L1和L2的方向向量依次为

和

，则

的夹角

应是

和

两者中的锐角，因此

，则

（3）结论
①两直线

互相垂直?

；
②两直线

互相平行或重合?

．
4．直线与平面的夹角
（1）定义
当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角

（0≤

＜

），称为直线与平面的夹角．当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为

．
（2）计算公式
设直线的方向向量为s＝（m，n，p），平面的法线向量为n＝（A，B，C），直线与平面的夹角为

，则

，因此

，则

（3）结论
①直线与平面垂直?

；
②直线与平面平行或直线在平面上?Am＋Bn＋Cp＝0．
五、曲面及其方程
1．曲面方程的概念
如果曲面S与三元方程F（x，y，z）＝0有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足F（x，y，z）＝0；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足F（x，y，z）＝0，则方程F（x，y，z）＝0就称为曲面S的方程.
2．曲面的分类
（1）球面方程
①球心在点

，半径为R的球面的方程

②球面的一般方程

（2）旋转曲面
①定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，旋转曲线和定直线依次称为旋转曲面的母线和轴．
②分类
a．圆锥面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面称为圆锥面．两直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角

称为圆锥面的半顶角．
b．旋转单叶双曲面
将xOz坐标面上的双曲线

绕z轴旋转所成的旋转曲面称为旋转单叶双曲面（图8-1-5），方程为



图8-1-5

图8-1-6
c．旋转双叶双曲面
将xOz坐标面上的双曲线

绕x轴旋转所成的旋转曲面称为旋转双叶双曲面（图8-1-6），方程为

（3）柱面
①定义
直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹称为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线．
②分类
a．圆柱面
凡是通过xOy面内圆

上一点M（x，y，0），且平行于z轴的直线l都在这曲面上，称这曲面为圆柱面（图8-1-7），圆

称为准线，直线l称为母线．

图8-1-7

图8-1-8
b．抛物圆柱面
方程

表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线

，该柱面称为抛物柱面（图8-1-8）．
c．母线平行于x轴的柱面
只含y、z而缺x的方程B（y，z）＝0表示母线平行于x轴的柱面．
d．母线平行于y轴的柱面
只含x、z而缺y的方程G（x，z）＝0表示母线平行于y轴的柱面．
e．母线平行于z轴的柱面
只含x、y而缺z的方程F（x，y）＝0表示母线平行于z轴的柱面．
（4）二次曲面
①定义
把三元二次方程F（x，y，z）＝0所表示的曲面称为二次曲面．
②分类
a．椭圆锥面

；
b．椭球面

；
c．单叶双曲面

；
d．双叶双曲面

；
e．椭圆抛物面

；
f．双曲抛物面

.
六、空间曲线及其方程
1．空间曲线的一般方程
设F（x，y，z）＝0和G（x，y，z）＝0是两个曲面的方程，两曲面的交线为C,则空间曲线C的一般方程为

2．空间曲线的参数方程
称方程组

为空间曲线的参数方程．
3．空间曲线在坐标面上的投影
以曲线C为准线、母线平行于z轴（即垂直于xOy面）的柱面称为曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线称为空间曲线C在xOy面上的投影曲线，又称投影．

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